Questão 01: Resolva os seguintes sistemas lineares usando o método de eliminação de Gauss:
\left[\begin{array}{ccc}9 & 3 & 0 \\\\ 3 & 10 & 3 \\\\ 0 & 3 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6 \\\\ -4 \\\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear
\begin{pmatrix} 9 & 3 & 0\\\\ 3 & 10 & 3\\\\ 0 & 3 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\\ -4\\\ 7\end{pmatrix}
e pede para resolver usando o método de eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e eliminar entradas abaixo dos pivôs.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 9 & 3 & 0 & 6\\\\ 3 & 10 & 3 & -4\\\\ 0 & 3 & 10 & 7 \end{array}\right].
O primeiro pivô é 9 na linha 1. Para zerar o elemento na posição (2,1), usamos
\text{R}_2 \gets \text{R}_2 - \frac{3}{9}\,\text{R}_1 = \text{R}_2 - \tfrac13\,\text{R}_1.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 9 & 3 & 0 & 6\\\\ 0 & 9 & 3 & -6\\\\ 0 & 3 & 10 & 7 \end{array}\right].

Passo 3

O próximo pivô é 9 na posição (2,2). Para zerar o elemento em (3,2), fazemos
\text{R}_3 \gets \text{R}_3 - \frac{3}{9}\,\text{R}_2 = \text{R}_3 - \tfrac13\,\text{R}_2.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 9 & 3 & 0 & 6\\\\ 0 & 9 & 3 & -6\\\\ 0 & 0 & 9 & 9 \end{array}\right].

Passo 4

Agora temos um sistema triangular superior equivalente:
\begin{cases} 9x_{1} + 3x_{2} + 0\,x_{3} = 6,\\\\ 0\,x_{1} + 9x_{2} + 3x_{3} = -6,\\\\ 0\,x_{1} + 0\,x_{2} + 9x_{3} = 9. \end{cases}
Fazemos a substituição regressiva:
Da terceira linha,
9x_{3} = 9 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 1.
Da segunda linha,
9x_{2} + 3\cdot1 = -6 \quad\Longrightarrow\quad 9x_{2} = -9 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = -1.
Da primeira linha,
9x_{1} + 3(-1) = 6 \quad\Longrightarrow\quad 9x_{1} = 9 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 1.

Resposta

x_{1} = 1,\qquad x_{2} = -1,\qquad x_{3} = 1.

Exercícios relacionados