Questão 04: Aplique RK4 para a função a seguir, com h=0.001 e estime \mathrm{y}(1.8), use \mathrm{y}_{0}=2 e \mathrm{x}_{0}=0 como o PVI.
y^{\prime}=-y+x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver numericamente o PVI
y' = -y + x + 2,\quad y(0)=2
usando o método de Runge–Kutta de quarta ordem (RK4) com passo h=0{,}001 e estimar y(1{,}8).

Passo 2

Definimos a função de inclinação
f(x,y) = -y + x + 2
e notamos que, indo de x_{0}=0 até x_{N}=1{,}8 com h=0{,}001, teremos
N = \frac{1{,}8-0}{0{,}001} = 1800
iterações.

Passo 3

No método RK4, a cada passo n calculamos
\begin{aligned} k_{1} &= f\bigl(x_{n},y_{n}\bigr),\\\ k_{2} &= f\!\Bigl(x_{n}+\tfrac{h}{2},\,y_{n}+\tfrac{h}{2}\,k_{1}\Bigr),\\\ k_{3} &= f\!\Bigl(x_{n}+\tfrac{h}{2},\,y_{n}+\tfrac{h}{2}\,k_{2}\Bigr),\\\ k_{4} &= f\bigl(x_{n}+h,\,y_{n}+h\,k_{3}\bigr), \end{aligned}
e então atualizamos
y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{6}\,\bigl(k_{1} + 2k_{2} + 2k_{3} + k_{4}\bigr),\quad x_{n+1} = x_{n} + h.

Passo 4

Para obter y(1{,}8) basta implementar essa rotina num computador ou numa planilha, repetindo o passo acima 1800 vezes. Como h é muito pequeno, o erro de truncamento na aproximação por RK4 será bastante reduzido.

Passo 5

Executando o algoritmo, encontra-se
y(1{,}8)\approx 2,9653.

Resposta

y(1{,}8)\approx 2,9653

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