QUESTÃO 9 - Aplicação em matemática financeira

Um produto de R$ 2.500,00 à vista pode ser financiado em dois diferentes planos:
  • Plano 1: entrada de R 500,00 e 15 parcelas de R 252,00;
  • Plano 2: sem entrada e 8 parcelas de \mathrm{R} 415,00$;
Se os dois planos têm taxa de juros no intervalo de 6% a 10% ao mês, qual deles tem a menor taxa de juros?
Responda a pergunta acima usando um polinômio interpolador de Newton de grau 2, sabendo que o valor das parcelas PMT no financiamento é calculado como
PMT=\frac{(P V-E) \cdot i}{1-(1+i)^{-n}}
onde, \mathrm{PV}= valor presente (valor à vista), \mathrm{E}= valor da entrada, \mathrm{n}= quantidade das parcelas iguais, i = taxa de juros ao mês,

Etapas

a) Como o interpolador deve ser grau \mathrm{n}=2, vamos precisar de três pontos (de preferência vamos espaçar igualmente de 6 \% a 10 \%, como mostrado na tabela abaixo). O próximo passo é calcular as parcelas PMT com a fórmula (1) e os valores P V, E e n do plano 1. Use no mínimo três casas decimais;
i PMT
0.06
0.08
0.10
i. Para o plano 1, siga as etapas abaixo.

Passo 1

O que o problema pede: determinar, dentro do intervalo de taxas mensais de 0,06 a 0,10, qual dos dois planos de financiamento tem a menor taxa de juros usando um polinômio interpolador de Newton de grau 2.
Informações fornecidas (resumidas):
  • Valor à vista PV = 2.500,00 (repare que todo valor numérico será tratado entre parênteses matemáticos).
  • Plano 1: entrada E= 500,00, número de parcelas n= 15, parcela observada PMT_{obs}= 252,00.
  • Plano 2: entrada E= 0,00, número de parcelas n= 8, parcela observada PMT_{obs}= 415,00.
  • Fórmula dada para a parcela:
PMT=\frac{(PV-E)\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}
  • Pontos para construir o interpolador (espaçados igualmente): i= 0,06, i= 0,08, i= 0,10.
  • Objetivo final: para cada plano, aproximar por interpolação o polinômio PMT(i) (grau 2) e então encontrar o valor de i em [0,06,0,10] tal que PMT(i)=PMT_{obs}. Comparar as taxas obtidas para decidir qual plano tem menor taxa.

Passo 2

Explicação da fórmula e estratégia (aula curtinha):
  • A fórmula
PMT=\frac{(PV-E)\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}
significa o seguinte:
  • (PV-E) é o valor financiado (capital sobre o qual incidem juros).
  • i é a taxa de juros por período (aqui: por mês).
  • n é o número de parcelas.
  • O denominador 1-(1+i)^{-n} é a parte que transforma a taxa periódica em uma anuidade: ele representa a fração do capital cobrada em cada parcela considerando os juros compostos.
  • Nossa estratégia passo a passo:
    1. Para cada plano, calcular três valores PMT(i) em i= 0,06, 0,08, 0,10 usando a fórmula. Esses serão os pontos (i,PMT).
    2. Construir o polinômio interpolador de Newton de grau 2 usando esses três pontos (vou mostrar como calcular as diferenças divididas).
    3. Resolver a equação polinomial P(i)=PMT_{obs} (fica uma equação quadrática) e escolher a raiz que está dentro de [0,06,0,10].
    4. Repetir para os dois planos e comparar as taxas.

Passo 3

Cálculo dos PMT para o Plano 1 ( PV= 2.500,00, E= 500,00, n= 15). Primeiro calcule o montante financiado:
PV-E=2.500,00-500,00=2.000,00.
Agora aplicamos a fórmula para os três i escolhidos.
Para i= 0,06:
  • Calcule (1+i)^{15}=(1,06)^{15}\approx 2,396979.
  • Então (1+i)^{-15}\approx 0,417473.
  • Denominador 1-(1+i)^{-15}\approx 1-0,417473=0,582527.
  • Numerador (PV-E)\cdot i=2.000,00\cdot 0,06=120,00.
PMT(0,06)=\frac{120,00}{0,582527}\approx 206,069.
Para i= 0,08:
  • (1,08)^{15}\approx 3,171 (cálculo por potências sucessivas), então (1,08)^{-15}\approx 0,31533.
  • Denominador 1-(1,08)^{-15}\approx 0,68467.
  • Numerador 2.000,00\cdot 0,08=160,00.
PMT(0,08)=\frac{160,00}{0,68467}\approx 233,817.
Para i= 0,10:
  • (1,10)^{15}\approx 4,177248, então (1,10)^{-15}\approx 0,239329.
  • Denominador 1-(1,10)^{-15}\approx 0,760671.
  • Numerador 2.000,00\cdot 0,10=200,00.
PMT(0,10)=\frac{200,00}{0,760671}\approx 263,051.
Tabela (Plano 1):
\begin{array}{|c|c|} \hline i & PMT \\\ \hline 0,06 & 206,069 \\\ \hline 0,08 & 233,817 \\\ \hline 0,10 & 263,051 \\\ \hline \end{array}
(Usei pelo menos três casas decimais em cada valor.)

Passo 4

Construção do interpolador de Newton (Plano 1). Dados os pontos (x_0,y_0)=(0,06,206,069), (x_1,y_1)=(0,08,233,817), (x_2,y_2)=(0,10,263,051).
Calcule as diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{233,817-206,069}{0,02}= \frac{27,748}{0,02}=1.387,400.
f[x_1,x_2]=\frac{263,051-233,817}{0,02}=\frac{29,234}{0,02}=1.461,700.
Segunda diferença dividida:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{1.461,700-1.387,400}{0,04}=\frac{74,300}{0,04}=1.857,500.
O polinômio de Newton (grau 2) fica:
P(i)=206,069+1.387,400\,(i-0,06)+1.857,500\,(i-0,06)(i-0,08).

Passo 5

Encontrar a taxa i tal que P(i)=PMT_{obs}=252,00 (Plano 1). Montamos a equação:
206,069+1.387,400(i-0,06)+1.857,500(i-0,06)(i-0,08)=252,00.
Expandindo passo a passo:
1.387,400(i-0,06)=1.387,400\,i-83,244.
1.857,500(i-0,06)(i-0,08)=1.857,500(i^2-0,14i+0,0048)=1.857,500\,i^2-259,050\,i+8,916.
Somando termos e levando tudo para o lado esquerdo:
1.857,500\,i^2+(1.387,400-259,050)\,i+(206,069-83,244+8,916-252,00)=0.
Simplificando coeficientes:
1.857,500\,i^2+1.128,350\,i-120,259=0.
Agora aplicamos a fórmula quadrática:
\Delta=(1.128,350)^2-4\cdot1.857,500\cdot(-120,259).
Cálculo numérico:
(1.128,350)^2\approx 1.273.173,723,\quad 4\cdot1.857,500\cdot120,259\approx 893.524,37,
\Delta\approx 2.166.698,093,\quad \sqrt{\Delta}\approx 1.471,98.
As raízes:
i=\frac{-1.128,350\pm 1.471,98}{2\cdot 1.857,500}.
A raiz positiva relevante é
i\approx\frac{-1.128,350+1.471,98}{3.715,000}\approx\frac{343,63}{3.715,000}\approx 0,0925.
Ou seja, para o Plano 1 obtemos a taxa aproximada i\approx 0,0925 (ou 9,25\% ao mês). A outra raiz é negativa e descartada.

Passo 6

Cálculo dos PMT para o Plano 2 ( PV= 2.500,00, E= 0,00, n= 8). Aqui o valor financiado é PV-E=2.500,00.
Para i= 0,06:
  • (1,06)^8\approx 1,593847, então (1,06)^{-8}\approx 0,627409.
  • Denominador 1-(1,06)^{-8}\approx 0,372591.
  • Numerador 2.500,00\cdot 0,06=150,00.
PMT(0,06)=\frac{150,00}{0,372591}\approx 402,587.
Para i= 0,08:
  • (1,08)^8\approx 1,850932, então (1,08)^{-8}\approx 0,540205.
  • Denominador 1-(1,08)^{-8}\approx 0,459795.
  • Numerador 2.500,00\cdot 0,08=200,00.
PMT(0,08)=\frac{200,00}{0,459795}\approx 435,220.
Para i= 0,10:
  • (1,10)^8\approx 2,143589, então (1,10)^{-8}\approx 0,466507.
  • Denominador 1-(1,10)^{-8}\approx 0,533493.
  • Numerador 2.500,00\cdot 0,10=250,00.
PMT(0,10)=\frac{250,00}{0,533493}\approx 468,636.
Tabela (Plano 2):
\begin{array}{|c|c|} \hline i & PMT \\\ \hline 0,06 & 402,587 \\\ \hline 0,08 & 435,220 \\\ \hline 0,10 & 468,636 \\\ \hline \end{array}

Passo 7

Construção do interpolador de Newton (Plano 2). Pontos: (x_0,y_0)=(0,06,402,587), (x_1,y_1)=(0,08,435,220), (x_2,y_2)=(0,10,468,636).
Diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{435,220-402,587}{0,02}=\frac{32,633}{0,02}=1.631,600.
f[x_1,x_2]=\frac{468,636-435,220}{0,02}=\frac{33,416}{0,02}=1.670,800.
Segunda diferença:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1.670,800-1.631,600}{0,04}=\frac{39,200}{0,04}=980,000.
Polinômio de Newton:
P(i)=402,587+1.631,600\,(i-0,06)+980,000\,(i-0,06)(i-0,08).

Passo 8

Encontrar i tal que P(i)=PMT_{obs}=415,00 (Plano 2). Montamos:
402,587+1.631,600(i-0,06)+980,000(i-0,06)(i-0,08)=415,00.
Expandindo:
1.631,600(i-0,06)=1.631,600\,i-97,896.
980,000(i-0,06)(i-0,08)=980,000(i^2-0,14i+0,0048)=980,000\,i^2-137,200\,i+4,704.
Somando e rearranjando:
980,000\,i^2+(1.631,600-137,200)\,i+(402,587-97,896+4,704-415,00)=0.
Simplificando:
980,000\,i^2+1.494,400\,i-105,604=0.
Discriminante:
\Delta=(1.494,400)^2-4\cdot980,000\cdot(-105,604).
Cálculo numérico:
(1.494,400)^2\approx 2.233.231,36,\quad 4\cdot980,000\cdot105,604\approx 413.966,48,
\Delta\approx 2.647.197,84,\quad \sqrt{\Delta}\approx 1.627,019.
Raízes:
i=\frac{-1.494,400\pm 1.627,019}{2\cdot 980,000}.
A raiz relevante (positiva e dentro do intervalo) é
i\approx\frac{-1.494,400+1.627,019}{1.960,000}\approx\frac{132,619}{1.960,000}\approx 0,06766.
Ou seja, para o Plano 2 obtemos i\approx 0,06766 (ou 6,77\% ao mês, arredondando).

Passo 9

Comparação final e interpretação (motivação rápida):
  • Plano 1: taxa aproximada i\approx 0,0925 (ou 9,25\% a.m.).
  • Plano 2: taxa aproximada i\approx 0,06766 (ou 6,77\% a.m.).
    Portanto, o Plano 2 tem a menor taxa de juros mensal. Força aí — você conseguiu seguir a técnica de interpolação e resolver duas quadráticas; isso dá bastante segurança pra prova!

Resposta

Plano 1: i\approx 0,0925 (9,25% a.m.)
Plano 2: i\approx 0,06766 (6,77% a.m.) — portanto o Plano 2 tem a menor taxa de juros.

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