QUESTÃO 9 - Aplicação em matemática financeira
Um produto de R$ 2.500,00 à vista pode ser financiado em dois diferentes planos:
- Plano 1: entrada de R
252,00;
- Plano 2: sem entrada e 8 parcelas de
415,00$;
Se os dois planos têm taxa de juros no intervalo de 6% a 10% ao mês, qual deles tem a menor taxa de juros?
Responda a pergunta acima usando um polinômio interpolador de Newton de grau 2, sabendo que o valor das parcelas PMT no financiamento é calculado como
onde,
valor presente (valor à vista),
valor da entrada,
quantidade das parcelas iguais, i = taxa de juros ao mês,
Etapas
a) Como o interpolador deve ser grau
, vamos precisar de três pontos (de preferência vamos espaçar igualmente de
a
, como mostrado na tabela abaixo). O próximo passo é calcular as parcelas PMT com a fórmula (1) e os valores
e
do plano 1. Use no mínimo três casas decimais;
i
PMT
0.06
0.08
0.10
i. Para o plano 1, siga as etapas abaixo.
| i | PMT |
| 0.06 | |
| 0.08 | |
| 0.10 |
Passo 1
O que o problema pede: determinar, dentro do intervalo de taxas mensais de
a
, qual dos dois planos de financiamento tem a menor taxa de juros usando um polinômio interpolador de Newton de grau
.
Informações fornecidas (resumidas):
- Valor à vista
(repare que todo valor numérico será tratado entre parênteses matemáticos). - Plano 1: entrada
, número de parcelas , parcela observada . - Plano 2: entrada
, número de parcelas , parcela observada . - Fórmula dada para a parcela:
- Pontos para construir o interpolador (espaçados igualmente):
, , . - Objetivo final: para cada plano, aproximar por interpolação o polinômio
(grau 2) e então encontrar o valor de em tal que . Comparar as taxas obtidas para decidir qual plano tem menor taxa.
Passo 2
Explicação da fórmula e estratégia (aula curtinha):
- A fórmula
significa o seguinte:
-
é o valor financiado (capital sobre o qual incidem juros). -
é a taxa de juros por período (aqui: por mês). -
é o número de parcelas. - O denominador
é a parte que transforma a taxa periódica em uma anuidade: ele representa a fração do capital cobrada em cada parcela considerando os juros compostos. - Nossa estratégia passo a passo:
- Para cada plano, calcular três valores
em , , usando a fórmula. Esses serão os pontos . - Construir o polinômio interpolador de Newton de grau
usando esses três pontos (vou mostrar como calcular as diferenças divididas). - Resolver a equação polinomial
(fica uma equação quadrática) e escolher a raiz que está dentro de . - Repetir para os dois planos e comparar as taxas.
- Para cada plano, calcular três valores
Passo 3
Cálculo dos
para o Plano 1 (
,
,
). Primeiro calcule o montante financiado:
Agora aplicamos a fórmula para os três
escolhidos.
Para
:
- Calcule
. - Então
. - Denominador
. - Numerador
.
Para
:
-
(cálculo por potências sucessivas), então . - Denominador
. - Numerador
.
Para
:
-
, então . - Denominador
. - Numerador
.
Tabela (Plano 1):
(Usei pelo menos três casas decimais em cada valor.)
Passo 4
Construção do interpolador de Newton (Plano 1). Dados os pontos
,
,
.
Calcule as diferenças divididas:
Segunda diferença dividida:
O polinômio de Newton (grau 2) fica:
Passo 5
Encontrar a taxa
tal que
(Plano 1). Montamos a equação:
Expandindo passo a passo:
Somando termos e levando tudo para o lado esquerdo:
Simplificando coeficientes:
Agora aplicamos a fórmula quadrática:
Cálculo numérico:
As raízes:
A raiz positiva relevante é
Ou seja, para o Plano 1 obtemos a taxa aproximada
(ou
ao mês). A outra raiz é negativa e descartada.
Passo 6
Cálculo dos
para o Plano 2 (
,
,
). Aqui o valor financiado é
.
Para
:
-
, então . - Denominador
. - Numerador
.
Para
:
-
, então . - Denominador
. - Numerador
.
Para
:
-
, então . - Denominador
. - Numerador
.
Tabela (Plano 2):
Passo 7
Construção do interpolador de Newton (Plano 2). Pontos:
,
,
.
Diferenças divididas:
Segunda diferença:
Polinômio de Newton:
Passo 8
Encontrar
tal que
(Plano 2). Montamos:
Expandindo:
Somando e rearranjando:
Simplificando:
Discriminante:
Cálculo numérico:
Raízes:
A raiz relevante (positiva e dentro do intervalo) é
Ou seja, para o Plano 2 obtemos
(ou
ao mês, arredondando).
Passo 9
Comparação final e interpretação (motivação rápida):
- Plano 1: taxa aproximada
(ou a.m.). - Plano 2: taxa aproximada
(ou a.m.).
Portanto, o Plano 2 tem a menor taxa de juros mensal. Força aí — você conseguiu seguir a técnica de interpolação e resolver duas quadráticas; isso dá bastante segurança pra prova!
Resposta
Plano 1:
(9,25% a.m.)
Plano 2: (6,77% a.m.) — portanto o Plano 2 tem a menor taxa de juros.
Plano 2: