Questão 11 Considere os sistemas lineares A x=b e A x=\tilde{b}, onde
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0,99 \\\\ 0,99 & 0,98 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l} 1,99 \\\\ 1,97 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \tilde{b}=\left[\begin{array}{l} 1,99 \\\\ 1,98 \end{array}\right]
a) Calcule \operatorname{Cond}(A);
b) Resolva os sistemas dados e verifique que, num sistema mal condicionado, pequenas perturbações acarretam grandes mudanças na solução.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número de condição de A e resolver os sistemas
A x = b \quad\text{e}\quad A x = \tilde b
com
A = \begin{pmatrix}1 & 0,99\\[6pt]0,99 & 0,98\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1,99\\[3pt]1,97\end{pmatrix},\quad \tilde b=\begin{pmatrix}1,99\\[3pt]1,98\end{pmatrix}.
O conteúdo é sensibilidade de sistemas lineares: número de condição e como pequenas variações em b afetam x.]

Passo 2

Vamos usar a norma infinito para estimar
\operatorname{Cond}_\infty(A) =\|A\|_\infty\,\|A^{-1}\|_\infty.
Primeiro,
\|A\|_\infty = \max\{\,|1|+|0,99|,\;|0,99|+|0,98|\} = \max\{1,99,\;1,97\} =1,99.

Passo 3

Calculamos \det(A) e A^{-1}.
\det(A) = 1\cdot0,98 - (0,99)^2 = 0,98 - 0,9801 = -0,0001,
A^{-1} = \frac1{\det(A)} \begin{pmatrix} 0,98 & -0,99\\[3pt] -0,99 & 1 \end{pmatrix} = -10000\begin{pmatrix} 0,98 & -0,99\\[3pt] -0,99 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9800 & 9900\\[3pt] 9900 & -10000 \end{pmatrix}.
Agora
\|A^{-1}\|_\infty = \max\{\,|-9800|+|9900|,\;|9900|+|{-10000}|\} =\max\{19700,\;19900\} =19900.
Logo
\operatorname{Cond}_\infty(A) =1,99\times19900\approx39601.]

Passo 4

Para resolver A x=b usamos x=A^{-1}b.
x = \begin{pmatrix} -9800 & 9900\\[3pt] 9900 & -10000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1,99\\[3pt]1,97\end{pmatrix}.
Calculando em cada componente:
x_1 = -9800\cdot1,99 + 9900\cdot1,97 \approx -19502 + 19503 = 1,
x_2 = 9900\cdot1,99 -10000\cdot1,97 \approx 19701 -19700 = 1.
Portanto
x = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora A\tilde x=\tilde b:
\tilde x = A^{-1}\tilde b = \begin{pmatrix} -9800 & 9900\\[3pt] 9900 & -10000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1,99\\[3pt]1,98\end{pmatrix}.
\tilde x_1 = -9800\cdot1,99 + 9900\cdot1,98 \approx -19502 +19602 = 100,
\tilde x_2 = 9900\cdot1,99 -10000\cdot1,98 \approx 19701 -19800 = -99.
Logo
\tilde x = \begin{pmatrix}100\\[3pt]-99\end{pmatrix}.
Note que a pequena variação em b (de 1,97 para 1,98) gerou uma mudança enorme em x. Isso mostra a matriz A é muito mal condicionada.]

Resposta

a) \operatorname{Cond}_\infty(A)\approx39601.
b) Para b obtemos x=(1,1)^T; para \tilde b obtemos \tilde x=(100,\,-99)^T, evidenciando grande sensibilidade.

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