a) Calcule \operatorname{Cond}(A);
b) Resolva os sistemas dados e verifique que, num sistema mal condicionado, pequenas perturbações acarretam grandes mudanças na solução.
Passo 1
O enunciado pede (a) calcular a condição de A e (b) resolver os dois sistemas
A x = b \quad\text{e}\quad A x = \tilde b
com
A = \begin{pmatrix}1 & 0,99\\[0,3em]0,99 & 0,98\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1,99\\[0,3em]1,97\end{pmatrix},\quad \tilde b=\begin{pmatrix}1,99\\[0,3em]1,98\end{pmatrix}.
Vamos usar a norma infinito para estimar \operatorname{Cond}(A) e depois comparar as soluções.]
Passo 2
Calculamos A^{-1} via fórmula da matriz 2\times2. O determinante é
Comparando \Delta b de apenas 0,01 na segunda componente (de 1,97 para 1,98), vemos que a solução muda de (1,1) para (100,-99). Isso ilustra o efeito de um sistema mal condicionado: pequenas perturbações em b geram grandes variações em x.
Resposta
(a) \displaystyle \operatorname{Cond}_\infty(A)=39601.
(b) Para b obtemos x=(1,1) e para \tilde b obtemos \tilde x=(100,-99), mostrando a forte sensibilidade da solução.