Questão 11 Considere os sistemas lineares A x=b e A x=\tilde{b}, onde
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0,99 \\\\ 0,99 & 0,98 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l} 1,99 \\\\ 1,97 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \tilde{b}=\left[\begin{array}{l} 1,99 \\\\ 1,98 \end{array}\right]
a) Calcule \operatorname{Cond}(A);
b) Resolva os sistemas dados e verifique que, num sistema mal condicionado, pequenas perturbações acarretam grandes mudanças na solução.

Passo 1

O enunciado pede (a) calcular a condição de A e (b) resolver os dois sistemas
A x = b \quad\text{e}\quad A x = \tilde b
com
A = \begin{pmatrix}1 & 0,99\\[0,3em]0,99 & 0,98\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1,99\\[0,3em]1,97\end{pmatrix},\quad \tilde b=\begin{pmatrix}1,99\\[0,3em]1,98\end{pmatrix}.
Vamos usar a norma infinito para estimar \operatorname{Cond}(A) e depois comparar as soluções.]

Passo 2

Calculamos A^{-1} via fórmula da matriz 2\times2. O determinante é
\det(A)=1\cdot0,98 - 0,99\cdot0,99 = 0,98 - 0,9801 = -0,0001.
Logo
A^{-1} = \frac1{\det(A)} \begin{pmatrix} 0,98 & -0,99\\\\ -0,99 & 1 \end{pmatrix} = -10000\begin{pmatrix} 0,98 & -0,99\\\\ -0,99 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -9800 & 9900\\\\ 9900 & -10000 \end{pmatrix}.

Passo 3

Norma infinito de A é
\|A\|_\infty=\max\{1+0,99,\;0,99+0,98\}=\max\{1,99,\;1,97\}=1,99.
Norma infinito de A^{-1} é
\|A^{-1}\|_\infty=\max\{|{-9800}|+|9900|,\;|9900|+|{-10000}|\} =\max\{19700,\;19900\}=19900.
Portanto
\operatorname{Cond}_\infty(A)=\|A\|_\infty\;\|A^{-1}\|_\infty =1,99\cdot19900=39601.

Passo 4

Usando x=A^{-1}b e \tilde x=A^{-1}\tilde b:
para b:
x_1=-9800\cdot1,99+9900\cdot1,97=19503-19502=1, \quad x_2=9900\cdot1,99-10000\cdot1,97=19701-19700=1,
ou seja x=(1,1).
para \tilde b:
\tilde x_1=-9800\cdot1,99+9900\cdot1,98=19602-19502=100,
\tilde x_2=9900\cdot1,99-10000\cdot1,98=19701-19800=-99,
ou seja \tilde x=(100,-99).

Passo 5

Comparando \Delta b de apenas 0,01 na segunda componente (de 1,97 para 1,98), vemos que a solução muda de (1,1) para (100,-99). Isso ilustra o efeito de um sistema mal condicionado: pequenas perturbações em b geram grandes variações em x.

Resposta

(a) \displaystyle \operatorname{Cond}_\infty(A)=39601.
(b) Para b obtemos x=(1,1) e para \tilde b obtemos \tilde x=(100,-99), mostrando a forte sensibilidade da solução.

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