Questão 2 Dada a tabela:
x 2 2,25 2,5 2,75 3,0
y 5,44 6,93 8,73 10,88 13,44
a) Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange sobre dois e três pontos;
b) Calcular f(2,4);
c) Considerando que f(x)=x e^{x / 2}, dê um limitante superior para o erro de truncamento.

Passo 1

O enunciado dá a função aproximada em cinco pontos da forma
(x,y):\;(2,5{,}44),\;(2{,}25,6{,}93),\;(2{,}5,8{,}73),\;(2{,}75,10{,}88),\;(3,13{,}44)
e pede:
a) os polinômios de interpolação de grau 1 (usando dois pontos) e de grau 2 (usando três pontos) via fórmula de Lagrange,
b) o valor aproximado em x=2{,}4,
c) um limitante superior para o erro de truncamento no caso quadrático.

Passo 2

Para a interpolação linear em x=2{,}4 escolhemos os dois pontos mais próximos, (2{,}25,6{,}93) e (2{,}5,8{,}73). A fórmula de Lagrange de grau 1 dá
p_{1}(x) =6{,}93\;\frac{x-2{,}5}{2{,}25-2{,}5} +8{,}73\;\frac{x-2{,}25}{2{,}5-2{,}25}.

Passo 3

Para a interpolação quadrática em x=2{,}4 escolhemos três pontos vizinhos, (2{,}25,6{,}93), (2{,}5,8{,}73) e (2{,}75,10{,}88). A fórmula de Lagrange de grau 2 é
p_{2}(x) =6{,}93\;\frac{(x-2{,}5)(x-2{,}75)}{(2{,}25-2{,}5)(2{,}25-2{,}75)} +8{,}73\;\frac{(x-2{,}25)(x-2{,}75)}{(2{,}5-2{,}25)(2{,}5-2{,}75)} +10{,}88\;\frac{(x-2{,}25)(x-2{,}5)}{(2{,}75-2{,}25)(2{,}75-2{,}5)}.

Passo 4

Avalia-se cada polinômio em x=2{,}4.
Para p_{1}:
p_{1}(2{,}4) =6{,}93\frac{2{,}4-2{,}5}{-0{,}25}+8{,}73\frac{2{,}4-2{,}25}{0{,}25} =8{,}01.
Para p_{2}:
p_{2}(2{,}4)\approx7{,}968.

Passo 5

O erro de truncamento para grau 2 em Lagrange é
R_{2}(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}),
para algum \xi em torno dos nós. Como f(x)=x\,e^{x/2},
f^{(3)}(x) =e^{x/2}\Bigl(\tfrac34+\tfrac x8\Bigr).
No intervalo [2{,}25,2{,}75] o máximo de \bigl|f^{(3)}(x)\bigr| ocorre em x=2{,}75:
M=f^{(3)}(2{,}75) =e^{1{,}375}\Bigl(\tfrac34+\tfrac{2{,}75}{8}\Bigr)\approx4{,}324.
Em x=2{,}4 o produto dos fatores é
|2{,}4-2{,}25|\;|2{,}4-2{,}5|\;|2{,}4-2{,}75| =0{,}15\cdot0{,}1\cdot0{,}35 =0{,}00525.
Logo
|R_{2}(2{,}4)|\le\frac{M}{6}\times0{,}00525 \approx0{,}0038.

Resposta

(a)
p_{1}(x) =6{,}93\;\frac{x-2{,}5}{2{,}25-2{,}5} +8{,}73\;\frac{x-2{,}25}{2{,}5-2{,}25},
p_{2}(x) =6{,}93\;\frac{(x-2{,}5)(x-2{,}75)}{(2{,}25-2{,}5)(2{,}25-2{,}75)} +8{,}73\;\frac{(x-2{,}25)(x-2{,}75)}{(2{,}5-2{,}25)(2{,}5-2{,}75)} +10{,}88\;\frac{(x-2{,}25)(x-2{,}5)}{(2{,}75-2{,}25)(2{,}75-2{,}5)}.
(b)
p_{1}(2{,}4)=8{,}01,\quad p_{2}(2{,}4)\approx7{,}968.
(c)
|R_{2}(2{,}4)|\le0{,}0038\quad\text{(ou, de forma arredondada, }0{,}004\text{).}

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