Questão 6 Verifique se a matriz A satisfaz critério de Sassenfeld
A=\left[\begin{array}{lll} 5 & 1 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 3 & 3 & 6 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\\\ 3 & 4 & 1\\\\ 3 & 3 & 6 \end{pmatrix}
satisfaça o critério de Sassenfeld, que é uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss–Seidel. Definimos recursivamente os números \beta_i por
\beta_i = \frac{1}{\lvert a_{ii}\rvert} \sum_{\substack{j=1\j\neq i}}^{n} \lvert a_{ij}\rvert\,c_j,
onde c_j=\beta_j se j<i e c_j=1 se j>i. Se \max_i\beta_i<1, então o critério é satisfeito.

Passo 2

Calcular \beta_1. Como não há índices menores que 1, tomamos todos os coeficientes fora da diagonal divididos por \lvert a_{11}\rvert=5:
\beta_1 = \frac{\lvert a_{12}\rvert + \lvert a_{13}\rvert}{\lvert a_{11}\rvert} = \frac{1 + 1}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4.

Passo 3

Calcular \beta_2. Aqui usamos \beta_1 para o termo j=1 e 1 para j=3, dividindo por \lvert a_{22}\rvert=4:
\beta_2 = \frac{\lvert a_{21}\rvert\,\beta_1 + \lvert a_{23}\rvert}{\lvert a_{22}\rvert} = \frac{3 \cdot 0{,}4 + 1}{4} = \frac{1{,}2 + 1}{4} = \frac{2{,}2}{4} = 0{,}55.

Passo 4

Calcular \beta_3. Usamos \beta_1 e \beta_2 nos termos j=1,2 e dividimos por \lvert a_{33}\rvert=6:
\beta_3 = \frac{\lvert a_{31}\rvert\,\beta_1 + \lvert a_{32}\rvert\,\beta_2}{\lvert a_{33}\rvert} = \frac{3 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}55}{6} = \frac{1{,}2 + 1{,}65}{6} = \frac{2{,}85}{6} = 0{,}475.

Passo 5

Comparando os valores, temos \beta_1=0{,}4, \beta_2=0{,}55 e \beta_3=0{,}475. O maior é \beta_2=0{,}55<1, logo \max_i\beta_i<1 e o critério de Sassenfeld é satisfeito.

Resposta

A matriz A satisfaz o critério de Sassenfeld, pois \beta_1=0{,}4, \beta_2=0{,}55, \beta_3=0{,}475 e \max\beta_i=0{,}55<1.

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