QUESTÃO 146

  • valor numérico da expressão \frac{\operatorname{sec} 1320^{\circ}}{2}-2. \cos \left(\frac{53 \pi}{3}\right)+\left(\operatorname{tg} 2220^{\circ}\right)^{2} é:
    (A) -1
    (B) 0
    (C) \frac{1}{2}
    (D) 1
    (E) -\frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico da expressão
E \;=\;\frac{\operatorname{sec} 1320^{\circ}}{2}\;-\;2\cos\!\Bigl(\tfrac{53\pi}{3}\Bigr)\;+\;\bigl(\tan 2220^{\circ}\bigr)^{2}.
O que vamos usar:
  1. Periodicidade de \cos e \tan.
  2. Identidade \operatorname{sec}\theta = 1/\cos\theta.
  3. Valores trigonométricos usuais em ângulos notáveis.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\operatorname{sec} 1320^{\circ}}{2}.
1320° reduzido módulo 360° é
1320^\circ - 3\cdot 360^\circ = 240^\circ.
Sabemos \cos240^\circ = \cos(180^\circ+60^\circ) = -\cos60^\circ = -\tfrac12.
Logo
\sec240^\circ = \frac1{\cos240^\circ} = \frac1{-\tfrac12} = -2,
e
\frac{\sec1320^\circ}{2} = \frac{-2}{2} = -1.

Passo 3

Calcular -2\cos\!\bigl(\tfrac{53\pi}{3}\bigr).
O ângulo \tfrac{53\pi}{3} em radianos tem período 2\pi = \tfrac{6\pi}{3}.
Fazendo 53\pi/3 - 8\cdot2\pi = 53\pi/3 - 16\pi = 53\pi/3 - 48\pi/3 = 5\pi/3.
Como \cos(5\pi/3)=\cos(2\pi - \tfrac{\pi}{3})=\cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12,
temos
-2\cos\!\Bigl(\tfrac{53\pi}{3}\Bigr) = -2\cdot \tfrac12 = -1.

Passo 4

Calcular \bigl(\tan 2220^{\circ}\bigr)^{2}.
A tangente tem período 180^\circ. Então
2220^\circ - 12\cdot180^\circ = 2220^\circ - 2160^\circ = 60^\circ.
Logo \tan2220^\circ = \tan60^\circ = \sqrt{3}, e
\bigl(\tan2220^\circ\bigr)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3.

Passo 5

Somando os três resultados:
E = \bigl(-1\bigr) + \bigl(-1\bigr) + 3 = 1.

Resposta

1 (alternativa D)

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