QUESTÃO 148

Se a temperatura \mathrm{T}\left(\mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) em uma cidade, durante o dia, é dada aproximadamente pela funçăo T(t)= 5+16 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{28}\right), 0 \leq t \leq 18, em que té o tempo, em horas, então, a temperatura máxima ocorrerá às
(A) 14 h 30 min
(B) 14 h
(C) 13 h 30 min
(D) 13 h
(E) 12 h

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(t) = 5 + 16 \,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{28}\bigr), \quad 0 \le t \le 18,
e pede em que hora T(t) atinge seu valor máximo. O conteúdo envolvido é a análise de máximo de função trigonométrica, que podemos fazer achando os pontos críticos pela derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada de T em relação a t:
T'(t) = 16 \cdot \cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{28}\bigr)\cdot \frac{d}{dt}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{28}\bigr) = 16 \,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{28}\bigr)\,\frac{\pi}{28}.

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos T'(t) a zero:
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{28}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi t}{28} = \frac{\pi}{2} + k\pi,
\text{isto é,}\quad t = 14 + 28k,\quad k\in\mathbb{Z}.é

Passo 4

Como t deve estar em [0,18], testamos valores de k:
  • Para k=0, t=14 (válido).
  • Para k=1, t=42>18 (fora do intervalo).
  • Para k=-1, t=-14<0 (fora do intervalo).
Logo, o único ponto crítico em [0,18] é t=14.

Passo 5

Verificamos que em t=14 o argumento do seno é \pi/2, onde \operatorname{sen}(\pi/2)=1, portanto
T(14)=5+16\cdot1=21
é de fato o valor máximo no intervalo.

Resposta

(B) 14 h

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