Questão 19. Duas esferas condutoras A e B, de raios R e 2 R, respectivamente, estão situadas no vácuo e separadas por uma distância d muito maior que seus raios. Inicialmente, a esfera A possui carga elétrica +5 Q e a esfera B possui carga -2 Q. Nessa configuração, a força elétrica exercida entre elas é representada pelo vetor F_{1}. As esferas são então conectadas por um fio condutor fino até que o equilíbrio eletrostático seja estabelecido. Após o equilíbrio, o fio é removido e as esferas permanecem na mesma distância d, passando a interagir com uma força elétrica representada pelo vetor \vec{F}_{2}. O módulo do vetor diferença \left|\vec{F}_{2}-\vec{F}_{1}\right|, em termos do módulo da força inicial F_{1}, é igual a: \mathbf{A}() 0,2 \mathrm{~F}_{1}
B ( ) 0,8 \mathrm{F}_{1}
C ( ) 1,0 \mathrm{~F}_{1}
D ( ) 1,2 \mathrm{F}_{1}
E ( ) 1,5 F _{1}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados que peguei do enunciado:
Esfera A tem raio R.
Esfera B tem raio 2R.
Distância entre centros é d, com d muito maior que os raios (d\gg R).
Cargas iniciais: q_A^{(1)}=+5Q e q_B^{(1)}=-2Q.
Força elétrica inicial (vetor) entre as esferas é \vec{F}_1. O módulo dessa força é F_1.
As esferas são conectadas por um fio fino até equilíbrio eletrostático; após isso o fio é retirado e as cargas finais são q_A^{(2)} e q_B^{(2)}. A nova força entre elas (vetor) é \vec{F}_2.
O que o enunciado pede:
Calcular o módulo da diferença de vetores \left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right| em termos de F_1. Ou seja, expressar \left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right| como múltiplo de F_1.
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb (a ferramenta básica aqui). Para duas cargas puntiformes (ou esferas condutoras suficientemente separadas), a magnitude da força eletrostática entre elas é dada por
F=\;k\frac{|q_1 q_2|}{d^2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, q_1 e q_2 são as cargas, e d é a distância entre centros. Aqui todas as quantidades estáticas são tratadas com sinais para direção, mas a fórmula acima dá o módulo. Como d\gg R, podemos tratar cada esfera como se fosse uma carga pontual localizada no seu centro (a aproximação de pontos está válida).
Passo 3
Calcular explicitamente o módulo da força inicial F_1 usando as cargas iniciais. As cargas iniciais têm sinais opostos (+5Q e -2Q), logo a interação é atrativa, mas o módulo é
Entender como as cargas se redistribuem quando as esferas são conectadas por um fio condutor fino: em equilíbrio eletrostático dois condutores conectados por fio ficam no mesmo potencial elétrico. Para uma esfera isolada de raio r com carga q, o potencial (referido ao infinito) é
V = k\frac{q}{r}.
Assim, ao conectar A e B por fio, os potenciais se igualam:
k\frac{q_A^{(2)}}{R} \;=\; k\frac{q_B^{(2)}}{2R}.
Cancelando k e R obtemos a relação entre as cargas finais:
Agora raciocinar sobre as direções vetoriais para calcular \left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right|. É importante perceber que os sentidos das forças mudam:
Inicialmente (\vec{F}_1): cargas +5Q e -2Q têm sinais opostos → atração. Se tomarmos como sentido positivo a direção de A para B, então a força sobre A é no sentido positivo. Logo podemos representar \vec{F}_1 como um vetor de módulo F_1 no sentido positivo.
Finalmente (\vec{F}_2): cargas Q e 2Q são ambas positivas → repulsão. A força sobre A é dirigida para longe de B, isto é, no sentido oposto ao anterior (sentido negativo se antes era positivo). Logo \vec{F}_2 tem direção oposta a \vec{F}_1.
Assim os vetores \vec{F}_1 e \vec{F}_2 têm sentidos opostos. Então a diferença vetorial (seguindo a convenção \vec{F}_2-\vec{F}_1) tem magnitude igual à soma dos módulos: