Questão 19. Duas esferas condutoras A e B, de raios R e 2 R, respectivamente, estão situadas no vácuo e separadas por uma distância d muito maior que seus raios. Inicialmente, a esfera A possui carga elétrica +5 Q e a esfera B possui carga -2 Q. Nessa configuração, a força elétrica exercida entre elas é representada pelo vetor F_{1}. As esferas são então conectadas por um fio condutor fino até que o equilíbrio eletrostático seja estabelecido. Após o equilíbrio, o fio é removido e as esferas permanecem na mesma distância d, passando a interagir com uma força elétrica representada pelo vetor \vec{F}_{2}. O módulo do vetor diferença \left|\vec{F}_{2}-\vec{F}_{1}\right|, em termos do módulo da força inicial F_{1}, é igual a:
\mathbf{A}() 0,2 \mathrm{~F}_{1}
B ( ) 0,8 \mathrm{F}_{1}
C ( ) 1,0 \mathrm{~F}_{1}
D ( ) 1,2 \mathrm{F}_{1}
E ( ) 1,5 F _{1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Esfera A tem raio R.
    • Esfera B tem raio 2R.
    • Distância entre centros é d, com d muito maior que os raios ( d\gg R).
    • Cargas iniciais: q_A^{(1)}=+5Q e q_B^{(1)}=-2Q.
    • Força elétrica inicial (vetor) entre as esferas é \vec{F}_1. O módulo dessa força é F_1.
    • As esferas são conectadas por um fio fino até equilíbrio eletrostático; após isso o fio é retirado e as cargas finais são q_A^{(2)} e q_B^{(2)}. A nova força entre elas (vetor) é \vec{F}_2.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o módulo da diferença de vetores \left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right| em termos de F_1. Ou seja, expressar \left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right| como múltiplo de F_1.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb (a ferramenta básica aqui). Para duas cargas puntiformes (ou esferas condutoras suficientemente separadas), a magnitude da força eletrostática entre elas é dada por
F=\;k\frac{|q_1 q_2|}{d^2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, q_1 e q_2 são as cargas, e d é a distância entre centros. Aqui todas as quantidades estáticas são tratadas com sinais para direção, mas a fórmula acima dá o módulo. Como d\gg R, podemos tratar cada esfera como se fosse uma carga pontual localizada no seu centro (a aproximação de pontos está válida).

Passo 3

Calcular explicitamente o módulo da força inicial F_1 usando as cargas iniciais. As cargas iniciais têm sinais opostos ( +5Q e -2Q), logo a interação é atrativa, mas o módulo é
F_1 = k\frac{|q_A^{(1)} q_B^{(1)}|}{d^2} = k\frac{|(+5Q)\cdot(-2Q)|}{d^2} = k\frac{10Q^2}{d^2}.

Passo 4

Entender como as cargas se redistribuem quando as esferas são conectadas por um fio condutor fino: em equilíbrio eletrostático dois condutores conectados por fio ficam no mesmo potencial elétrico. Para uma esfera isolada de raio r com carga q, o potencial (referido ao infinito) é
V = k\frac{q}{r}.
Assim, ao conectar A e B por fio, os potenciais se igualam:
k\frac{q_A^{(2)}}{R} \;=\; k\frac{q_B^{(2)}}{2R}.
Cancelando k e R obtemos a relação entre as cargas finais:
\frac{q_A^{(2)}}{R}=\frac{q_B^{(2)}}{2R} \quad\Rightarrow\quad q_B^{(2)}=2\,q_A^{(2)}.

Passo 5

Aplicar conservação de carga: a carga total do sistema não muda ao conectá-las por fio. A carga total inicial é
q_{\text{total}} = q_A^{(1)} + q_B^{(1)} = (+5Q) + (-2Q) = +3Q.
Logo as cargas finais satisfazem
q_A^{(2)} + q_B^{(2)} = 3Q.
Usando q_B^{(2)}=2q_A^{(2)} temos
q_A^{(2)} + 2q_A^{(2)} = 3q_A^{(2)} = 3Q \quad\Rightarrow\quad q_A^{(2)} = Q.
E então
q_B^{(2)} = 2q_A^{(2)} = 2Q.

Passo 6

Calcular a magnitude da força final F_2 quando as esferas estão separadas (de novo) à distância d com cargas q_A^{(2)}=Q e q_B^{(2)}=2Q:
F_2 = k\frac{|q_A^{(2)} q_B^{(2)}|}{d^2} = k\frac{Q\cdot 2Q}{d^2} = k\frac{2Q^2}{d^2}.
Comparando com F_1 = k\frac{10Q^2}{d^2}, temos
F_2 = \frac{2}{10}\,F_1 = 0,2\,F_1.

Passo 7

Agora raciocinar sobre as direções vetoriais para calcular \left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right|. É importante perceber que os sentidos das forças mudam:
  • Inicialmente ( \vec{F}_1): cargas +5Q e -2Q têm sinais opostos → atração. Se tomarmos como sentido positivo a direção de A para B, então a força sobre A é no sentido positivo. Logo podemos representar \vec{F}_1 como um vetor de módulo F_1 no sentido positivo.
  • Finalmente ( \vec{F}_2): cargas Q e 2Q são ambas positivas → repulsão. A força sobre A é dirigida para longe de B, isto é, no sentido oposto ao anterior (sentido negativo se antes era positivo). Logo \vec{F}_2 tem direção oposta a \vec{F}_1.
Assim os vetores \vec{F}_1 e \vec{F}_2 têm sentidos opostos. Então a diferença vetorial (seguindo a convenção \vec{F}_2-\vec{F}_1) tem magnitude igual à soma dos módulos:
\left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right| = F_1 + F_2.
Substituindo F_2=0,2\,F_1 resulta
\left|\vec{F}_2-\vec{F}_1\right| = F_1 + 0,2\,F_1 = 1,2\,F_1.

Resposta

1,2\,F_1

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