Questão 7. Para quantos valores do parâmetro real \mathbf{a} a equação \sqrt{x^{2}-4}=|x+a| tem exatamente 2 soluções reais?
A ( ) 0
B( ) 1
C( ) 2
D( ) 3
E ( ) Mais que 3.

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quantos valores do parâmetro real a a equação
\sqrt{x^{2}-4}=|x+a|
tem exatamente 2 soluções reais. Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x e o parâmetro é a\in\mathbb{R}.
  • A função \sqrt{x^{2}-4} exige que o discriminante interno seja não negativo, ou seja que x^{2}-4\ge 0.
  • A expressão do lado direito é o valor absoluto |x+a|, sempre não negativo.
  • A pergunta é sobre o número de valores de a (quantos parâmetros a) que fazem a equação ter exatamente duas soluções reais em x.

Passo 2

Entender o domínio em x: pela condição \sqrt{x^{2}-4} definida, temos
x^{2}-4\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge 2,
ou seja as soluções possíveis devem satisfazer x\le -2 ou x\ge 2. Isso é importante: qualquer candidato a solução deve estar fora do intervalo (-2,2).

Passo 3

Analisar o caso especial a=0 separadamente (frequentemente a=0 altera a estrutura da equação). Para a=0 a equação fica
\sqrt{x^{2}-4}=|x|.
Como |x|\ge 0 e estamos no domínio |x|\ge 2, elevando ao quadrado (justificável porque ambos os lados são não negativos) obtemos
x^{2}-4=x^{2}\quad\Longrightarrow\quad -4=0,
o que é impossível. Portanto, para a=0 não há soluções reais. Conclusão: a=0 gera 0 soluções.

Passo 4

Agora suponha a\neq 0. Como ambos os lados da equação são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem criar falsas implicações: \sqrt{x^{2}-4}=|x+a| é equivalente (no domínio) a
x^{2}-4=(x+a)^{2}.
Expandindo o lado direito e simplificando os x^{2} que se cancelam, obtemos uma equação linear em x:
x^{2}-4 = x^{2}+2ax+a^{2} \quad\Longrightarrow\quad -4=2ax+a^{2}.
Isolando x (lembrando que a\neq 0) vem
2ax = -4 - a^{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-4-a^{2}}{2a}.

Passo 5

Interpretação: para cada a\neq 0 a equação quadrada reduziu a uma equação linear que fornece, no máximo, uma solução x dada por
x_{\text{lin}}=\frac{-4-a^{2}}{2a}.
Como já considerámos a=0 antes, para todo a\neq 0 existe esse candidato único. Porém ainda precisamos verificar que esse x_{\text{lin}} esteja no domínio |x|\ge 2 (caso contrário seria descartado) e analisar possíveis soluções adicionais especiais (por exemplo x=\pm2).

Passo 6

Verificar a condição de domínio para x_{\text{lin}}. Queremos saber quando
\left|\frac{-4-a^{2}}{2a}\right|\ge 2.
Multiplicando ambos os lados por |2a|>0 obtemos
| -4 - a^{2} |\ge 4|a|.
Mas |-4-a^{2}|=a^{2}+4 porque a^{2}+4>0. Assim a desigualdade fica
a^{2}+4 \ge 4|a|.
Colocando t=|a|\ge 0 temos
t^{2}-4t+4\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (t-2)^{2}\ge 0,
o que é sempre verdadeiro (para todo t). Portanto a desigualdade é válida para todo a. Conclusão importante: para todo a\neq 0 o x_{\text{lin}} obtido satisfaz |x_{\text{lin}}|\ge 2 e, portanto, está no domínio — isto é, o candidato é sempre admissível.

Passo 7

Agora verificar possíveis soluções especiais em x=\pm 2. Note que \sqrt{x^{2}-4}=0 exatamente quando x=\pm 2. Para que x=\pm 2 seja solução da equação original, é preciso que |x+a|=0, ou seja x+a=0.
  • Para x=2 isso exige 2+a=0\Rightarrow a=-2.
  • Para x=-2 isso exige -2+a=0\Rightarrow a=2.
Assim x=2 é solução somente quando a=-2; x=-2 é solução somente quando a=2.

Passo 8

Comparar as soluções especiais com x_{\text{lin}}. Calculamos x_{\text{lin}} nos casos a=2 e a=-2:
  • Para a=2:
x_{\text{lin}}=\frac{-4-2^{2}}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2.
Isso coincide com a solução especial x=-2 que aparece quando a=2. Então para a=2 existe exatamente uma solução (que é x=-2).
  • Para a=-2:
x_{\text{lin}}=\frac{-4-(-2)^{2}}{2\cdot(-2)}=\frac{-8}{-4}=2.
Isso coincide com a solução especial x=2 que aparece quando a=-2. Então para a=-2 existe exatamente uma solução (que é x=2).

Passo 9

Compilar os casos para contar o número de soluções em função de a:
  • a=0: nenhuma solução (0 soluções).
  • a=2: existe exatamente uma solução ( x=-2 ).
  • a=-2: existe exatamente uma solução ( x=2 ).
  • a\neq 0,\pm 2: existe exatamente um x_{\text{lin}} (e nenhum dos pontos \pm 2 é solução), logo exatamente uma solução.
Em nenhum caso encontramos dois elementos distintos x que satisfaçam a equação: para a\neq 0 há sempre exatamente uma solução e para a=0 não há solução. Portanto não existe valor de a que resulte em exatamente duas soluções reais.

Resposta

A ( 0)

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