Questão 36
Assinale a opção que apresenta a taxa efetiva anual
que uma taxa de
ao mês fornece.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha qual das opções apresenta a taxa efetiva anual
correspondente a uma taxa de
ao mês.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A taxa nominal informada é
por mês (ou seja, a cada mês o capital é multiplicado por ). - Preciso identificar a expressão correta para a taxa efetiva anual
entre as alternativas (A) a (E).
Passo 2
Entendendo o que significa “taxa de
ao mês” e o que é “taxa efetiva anual”.
- Quando dizemos que a taxa é
ao mês, isso significa que, após um mês, um capital vira . Aqui eu uso a fórmula do juro composto para um período: multiplicamos pelo fator , onde é a taxa por período. - Se aplicarmos essa taxa por
meses (um ano), o capital final será obtido multiplicando-se por esse fator vezes, ou seja, por . Então, após um ano:
- A taxa efetiva anual
é definida pela relação entre e como
Igualando as duas expressões para
obtemos a relação que liga a taxa mensal ao juro anual efetivo:
Passo 3
Isolando
na relação anterior fica:
Esse é o procedimento padrão: compor a taxa mensal
vezes e subtrair
para obter a taxa efetiva anual. Observe que isso leva em conta capitalização composta mês a mês — por isso não é correto simplesmente fazer
(isso seria uma aproximação por juros simples, sem capitalização). Um exemplo pequeno para ver a diferença: para
meses a taxa efetiva de dois meses seria
enquanto
. Já dá para ver que o composto gera um valor ligeiramente maior.
Podemos também dar uma aproximação numérica de :
Podemos também dar uma aproximação numérica de
ou seja cerca de
.
Passo 4
Comentando rapidamente as alternativas (para fixar a ideia):
- A expressão
(obtida acima) representa exatamente a capitalização mensal composta por 12 meses. - A alternativa que usa
seria juros simples (não composto) e dá (ou ), portanto é incorreta. - A alternativa que tem
corresponde ao caso em que é a taxa nominal anual dividida por 12 (ou seja, ao ano convertida em parcela mensal), o que não é o que o enunciado diz.
Resposta
(A)