Questão 36

Assinale a opção que apresenta a taxa efetiva anual j que uma taxa de 2 \% ao mês fornece.
(A) j=1,02^{12}-1
(B) j=1,2^{12}-1
(C) j=12 \cdot 0,02
(D) j=12 \cdot 0,2
(E) j=\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{12}-1

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha qual das opções apresenta a taxa efetiva anual j correspondente a uma taxa de 2\% ao mês.
Informações dadas:
  • A taxa nominal informada é 2\% por mês (ou seja, a cada mês o capital é multiplicado por 1+0,02).
  • Preciso identificar a expressão correta para a taxa efetiva anual j entre as alternativas (A) a (E).

Passo 2

Entendendo o que significa “taxa de 2\% ao mês” e o que é “taxa efetiva anual”.
  • Quando dizemos que a taxa é 2\% ao mês, isso significa que, após um mês, um capital C_0 vira C_1 = C_0(1+0,02). Aqui eu uso a fórmula do juro composto para um período: multiplicamos pelo fator 1+i, onde i é a taxa por período.
  • Se aplicarmos essa taxa por 12 meses (um ano), o capital final será obtido multiplicando-se por esse fator 12 vezes, ou seja, por (1+0,02)^{12}. Então, após um ano:
C_{12} = C_0(1+0,02)^{12}.
  • A taxa efetiva anual j é definida pela relação entre C_{12} e C_0 como
C_{12}=C_0(1+j).
Igualando as duas expressões para C_{12} obtemos a relação que liga a taxa mensal ao juro anual efetivo:
1+j=(1+0,02)^{12}.

Passo 3

Isolando j na relação anterior fica:
j=(1+0,02)^{12}-1.
Esse é o procedimento padrão: compor a taxa mensal 12 vezes e subtrair 1 para obter a taxa efetiva anual. Observe que isso leva em conta capitalização composta mês a mês — por isso não é correto simplesmente fazer 12\cdot0,02 (isso seria uma aproximação por juros simples, sem capitalização). Um exemplo pequeno para ver a diferença: para 2 meses a taxa efetiva de dois meses seria
(1+0,02)^{2}-1=1,02^{2}-1=0,0404,
enquanto 2\cdot0,02=0,04. Já dá para ver que o composto gera um valor ligeiramente maior.
Podemos também dar uma aproximação numérica de j:
j\approx 1,02^{12}-1\approx 0,26824,
ou seja cerca de 26,824\%.

Passo 4

Comentando rapidamente as alternativas (para fixar a ideia):
  • A expressão (1+0,02)^{12}-1 (obtida acima) representa exatamente a capitalização mensal composta por 12 meses.
  • A alternativa que usa 12\cdot0,02 seria juros simples (não composto) e dá 0,24 (ou 24\%), portanto é incorreta.
  • A alternativa que tem \left(1+\dfrac{0,02}{12}\right)^{12}-1 corresponde ao caso em que 0,02 é a taxa nominal anual dividida por 12 (ou seja, 2\% ao ano convertida em parcela mensal), o que não é o que o enunciado diz.

Resposta

(A)

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