Para as três questões abaixo, faça a decomposição L U com pivotação parcial da matriz do sistema linear A x=b :\n \n\left[\begin{array}{rrrr}\n0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 5 & -3 \\\\ 1 & 2 & 5 & -1\n\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\nx_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\n10 \\\\ 20 \\\\ 30 \\\\ 40\n\end{array}\right]\n
Para L y=P b, qual o valor de y_{4} ?\n \bigcirc-9,0910\n \bigcirc 10,0000\n○-6,6665\n \bigcirc-8,5715\n \bigcirc-12,0000

Passo 1

Temos o sistema Ax=b com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 2\\\\ 4 & 2 & 0 & 1\\\\ -2&1 &5 &-3\\\\ 1 &2 &5 &-1 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}10\\\ 20\\\ 30\\\ 40\end{pmatrix},
e queremos a decomposição LU com pivotação parcial, isto é, encontrar P,L,U tais que PA=LU. Em seguida, resolvemos
L\,y = P\,b
por substituição progressiva e determinamos y_4.

Passo 2

k =1: Coluna 1 de U (inicialmente U=A) tem valores (0,4,-2,1), maior em módulo é 4 na linha 2. Fazemos o pivô trocando linha 1↔2 em U e em P (e em L nas colunas antes de 1, mas não há). Depois, para i=2,3,4 definimos
L_{i1} = \frac{U_{i1}}{U_{11}}
e atualizamos
U_{i,:}\gets U_{i,:}-L_{i1}\,U_{1,:}.
Isso gera
U=\begin{pmatrix} 4 &2 &0 &1\\\\ 0 &1 &3 &2\\\\ 0 &2 &5 &-2.5\\\\ 0 &1.5&5&-1.25 \end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ -0.5&0&1&0\\\\ 0.25&0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 3

k =2: Na subcoluna 2 de U (linhas 2–4) temos (1,2,1.5), maior em módulo é 2 na linha 3. Trocamos linha 2↔3 em U, em P e em L nas colunas <2 (isto é, coluna 1). Depois, para i=3,4 definimos
L_{i2}=\frac{U_{i2}}{U_{22}}
e atualizamos
U_{i,:}\gets U_{i,:}-L_{i2}\,U_{2,:}.
Fica
U=\begin{pmatrix} 4&2 &0 &1\\\\ 0&2 &5 &-2.5\\\\ 0&0 &0.5&3.25\\\\ 0&0 &1.25&0.625 \end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix} 1&0 &0&0\\\\ -0.5&1&0&0\\\\ 0.25&0.5&1&0\\\\ 0.25&0.75&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 4

k =3: Na subcoluna 3 de U (linhas 3–4) temos (0.5,1.25), maior é 1.25 na linha 4. Trocamos linha 3↔4 em U, em P e em L nas colunas ❤️ (colunas 1 e 2). Calculamos então
L_{43}=\frac{U_{43}}{U_{33}}=\frac{0.5}{1.25}=0.4
e atualizamos
U_{4,:}\gets U_{4,:}-0.4\,U_{3,:},
ficando no final
U=\begin{pmatrix} 4&2&0&1\\\\ 0&2&5&-2.5\\\\ 0&0&1.25&0.625\\\\ 0&0&0&3 \end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix} 1&0 &0 &0\\\\ -0.5&1 &0 &0\\\\ 0.25&0.75&1 &0\\\\ 0 &0.5 &0.4&1 \end{pmatrix}.

Passo 5

A permutação final P aplicada a b
P\,b = \begin{pmatrix}20\\\ 30\\\ 40\\\ 10\end{pmatrix}.
Resolvendo L\,y = P\,b por substituição progressiva:
\begin{aligned} y_1 &=20,\\\ y_2 &=30 -(-0.5)\cdot20 =40,\\\ y_3 &=40 -0.25\cdot20 -0.75\cdot40 =5,\\\ y_4 &=10 -0\cdot20 -0.5\cdot40 -0.4\cdot5 = -12. \end{aligned}

Resposta

-12{,}0000

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