Seja A uma matriz singular de tamanho 3 . O traço de A é 1 . A primeira coluna de A é \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right]^{T}. A última linha de A é \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 4\end{array}\right]. Qual o valor de a_{12} ?
Escolha uma opção:
a. -4
b. 0
C. 4
d. -2
e. -1

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 3\times3 singular com \mathrm{tr}(A)=1, primeira coluna
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}
e última linha
\begin{pmatrix}0 & 0 & 4\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a_{12}. Usaremos a condição do traço para achar a_{22} e a de singularidade \det(A)=0 para achar a_{12}.

Passo 2

Pela informação da primeira coluna e da última linha, escrevemos
A = \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13}\\\\ 1 & a_{22} & a_{23}\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Como \mathrm{tr}(A)=1, temos
a_{11}+a_{22}+a_{33}=1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + a_{22} + 4 = 1 \quad\Longrightarrow\quad a_{22} = -4.

Passo 3

A condição de singularidade exige \det(A)=0. Como a terceira linha tem zeros nas duas primeiras colunas,
\det(A) =4\;\det\begin{pmatrix}1 & a_{12}\\\ 1 & a_{22}\end{pmatrix} =4\bigl(1\cdot a_{22}-a_{12}\cdot1\bigr) =4(-4 - a_{12}).

Passo 4

Impondo \det(A)=0,
4(-4 - a_{12})=0 \quad\Longrightarrow\quad -4 - a_{12}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{12} = -4.

Resposta

-4

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