Questão 2:

(a) Calcule uma aproximação para \pi a partir da relação
\frac{\pi}{4}=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}
usando a regra do Trapézio com 4 repetições, ou seja, 4 subintervalos.
(b) Determine o valor de h, para que se possa avaliar a integral anterior, com erro inferior a 10^{-4}, usando a fórmula do Trapézio.

Passo 1

O enunciado pede (a) aproximar \pi pela relação
\frac{\pi}{4}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}
usando a regra do Trapézio composto com 4 subintervalos, e (b) determinar o passo h para que o erro dessa regra seja menor que 10^{-4}.
Conteúdo: integração numérica (regra do Trapézio) e cota de erro baseada na segunda derivada da função f(x)=\frac1{1+x^{2}}.

Passo 2

Para (a), divido o intervalo [0,1] em 4 subintervalos de comprimento
h=\frac{1-0}{4}=0,25.
Os pontos são
x_{0}=0,\;x_{1}=0,25,\;x_{2}=0,5,\;x_{3}=0,75,\;x_{4}=1
e os valores
f(x)=\frac1{1+x^{2}}\quad\Rightarrow\quad f(0)=1,\; f(0,25)=\frac1{1,0625}\approx0,94118,\; f(0,5)=0,8,\; f(0,75)=0,64,\; f(1)=0,5.
A regra do Trapézio composto dá
T_{4}=\frac{h}{2}\bigl(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{3}f(x_{i})+f(x_{4})\bigr) =\frac{0,25}{2}\bigl(1+2(0,94118+0,8+0,64)+0,5\bigr).

Passo 3

Calculando
T_{4}=0,125\bigl(1+2\cdot2,38118+0,5\bigr) =0,125\cdot6,26236 \approx0,782795.
Como T_{4}\approx\frac{\pi}{4}, temos
\pi\approx4\,T_{4}\approx4\times0,782795=3,13118.

Passo 4

Para (b), usamos a cota de erro do Trapézio composto:
\bigl|E_{T}\bigr|\le\frac{b-a}{12}\,M_{2}\,h^{2},
onde M_{2}=\max_{x\in[0,1]}\bigl|f''(x)\bigr|. Calculamos
f(x)= (1+x^{2})^{-1},\quad f''(x)=\frac{6x^{2}-2}{(1+x^{2})^{3}}.
Em [0,1], \bigl|f''(x)\bigr| atinge o máximo em x=0, pois
f''(0)=-2\quad\Rightarrow\quad|f''(0)|=2,
e em x=1 vale 0,5. Logo M_{2}=2. Como b-a=1, a cota fica
|E_{T}|\le\frac{1}{12}\cdot2\,h^{2}=\frac{h^{2}}{6}.

Passo 5

Queremos \frac{h^{2}}{6}\le10^{-4}, isto é
h^{2}\le6\times10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad h\le\sqrt{6\times10^{-4}}\approx0,0245.

Resposta

(a) \pi\approx3,13118
(b) h\le0,0245

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