(a) Determine o polinômio p de grau menor ou igual a 3 que interpola f nos pontos -2,-1,1 e 2 e avalie p(0).
(b) O polinômio obtido no item anterior é único? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece os valores da função f nos pontos -2,-1,0,1,2 e pede o polinômio p de grau \le3 que interpola f nos pontos x=-2,-1,1,2, além de calcular p(0). O conteúdo é interpolação polinomial de grau 3, que podemos resolver montando um sistema para os coeficientes de
Esse é um sistema de quatro equações lineares em a,b,c,d.
Passo 3
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
-7a+3b-c=12,
subtraindo a segunda da terceira obtemos
2a+2c=-6\implies a+c=-3,
e subtraindo a terceira da quarta obtemos
7a+3b+c=-6.
Dessas três equações, somando a primeira e a terceira achamos 6b=6\implies b=1.
Com b=1, da terceira vem 7a+1\cdot3+c=-6\implies7a+c=-9.
E de a+c=-3 segue
O polinômio interpolador de grau \le3 em quatro pontos distintos é único, pois o sistema de Vandermonde associado tem determinante não-nulo. Assim não existe outro polinômio de grau \le3 que passe por esses quatro pontos.
Resposta
O polinômio interpolador é
p(x)=-x^3+x^2-2x+1,
e p(0)=1.
O polinômio é único porque a matriz de interpolação (Vandermonde) em pontos distintos é invertível.