Questão 3: É dada a seguinte função tabelada:
x -2 -1 0 1 2
f(x) 17 5 1 -1 -7
(a) Determine o polinômio p de grau menor ou igual a 3 que interpola f nos pontos -2,-1,1 e 2 e avalie p(0).
(b) O polinômio obtido no item anterior é único? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece os valores da função f nos pontos -2,-1,0,1,2 e pede o polinômio p de grau \le3 que interpola f nos pontos x=-2,-1,1,2, além de calcular p(0). O conteúdo é interpolação polinomial de grau 3, que podemos resolver montando um sistema para os coeficientes de
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

Passo 2

Impondo as condições de interpolação:
\begin{cases} p(-2)=-8a+4b-2c+d=17,\\\ p(-1)=-a+b-c+d=5,\\\ p(1)=a+b+c+d=-1,\\\ p(2)=8a+4b+2c+d=-7. \end{cases}
Esse é um sistema de quatro equações lineares em a,b,c,d.

Passo 3

Subtraindo a segunda da primeira obtemos
-7a+3b-c=12,
subtraindo a segunda da terceira obtemos
2a+2c=-6\implies a+c=-3,
e subtraindo a terceira da quarta obtemos
7a+3b+c=-6.
Dessas três equações, somando a primeira e a terceira achamos 6b=6\implies b=1.
Com b=1, da terceira vem 7a+1\cdot3+c=-6\implies7a+c=-9.
E de a+c=-3 segue
7a+(-3-a)=-9\implies6a= -6\implies a=-1,\quad c=-3-(-1)=-2.
Por fim, da segunda condição -a+b-c+d=5 temos
-(-1)+1-(-2)+d=5\implies1+1+2+d=5\implies d=1.
Logo
p(x)=-x^3+x^2-2x+1.

Passo 4

Para x=0 obtemos
p(0)=1.

Passo 5

O polinômio interpolador de grau \le3 em quatro pontos distintos é único, pois o sistema de Vandermonde associado tem determinante não-nulo. Assim não existe outro polinômio de grau \le3 que passe por esses quatro pontos.

Resposta

O polinômio interpolador é
p(x)=-x^3+x^2-2x+1,
e p(0)=1.
O polinômio é único porque a matriz de interpolação (Vandermonde) em pontos distintos é invertível.

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