Questão 1

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Uma loja registra o número de unidades vendidas de um novo produto nos primeiros meses:
  • Mês 1\left(x_{0}=1\right), Vendas =10 unidades \left(y_{0}=10\right)
  • Mês 2\left(x_{1}=2\right), Vendas =15 unidades \left(y_{1}=15\right)
  • Mês 3\left(x_{2}=3\right), Vendas =28 unidades \left(y_{2}=28\right)
Utilizando a forma de Lagrange para encontrar o polinômio interpolador que modela as vendas (y) em função do mês ( x ), qual seria a previsão de vendas para o Mês 2,5 ?
a. 20 unidades
b. 20,75 unidades
c. 21,5 unidades
d. 20,5 unidades
e. 21,25 unidades

Passo 1

Temos três pontos de dados: (1,10), (2,15) e (3,28). A tarefa é usar interpolação polinomial de Lagrange para obter um polinômio P(x) que passa por esses pontos e, em seguida, calcular a previsão de vendas em x=2{,}5.

Passo 2

Calculamos os polinômios de base de Lagrange L_0(x), L_1(x) e L_2(x):
L_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{(x-2)(x-3)}{2}
L_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = -\,(x-1)(x-3)
L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}

Passo 3

Formamos o polinômio interpolador:
P(x) = 10\,L_0(x)\;+\;15\,L_1(x)\;+\;28\,L_2(x)
Substituindo as expressões:
P(x) = 5\,(x-2)(x-3)\;-\;15\,(x-1)(x-3)\;+\;14\,(x-1)(x-2)

Passo 4

Agora avaliamos P em x=2{,}5, calculando cada termo:
5\,(2{,}5-2)(2{,}5-3) = 5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5) = -1{,}25
-15\,(2{,}5-1)(2{,}5-3) = -15\cdot1{,}5\cdot(-0{,}5) = 11{,}25
14\,(2{,}5-1)(2{,}5-2) = 14\cdot1{,}5\cdot0{,}5 = 10{,}5

Passo 5

Somando os três termos:
P(2{,}5) = -1{,}25 + 11{,}25 + 10{,}5 = 20{,}5
Logo, a previsão de vendas para o mês 2,5 é 20{,}5 unidades.

Resposta

(d)

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