Questão 2. Considere a seguinte função:
Sabe-se que a função
possui uma única raiz para
. Na solução de um problema, faz-se necessário encontrar uma aproximação para a raiz de
com precisão de, pelo menos, 4 casas decimais. No entanto, sua equipe de trabalho precisa resolver o problema utilizando apenas uma calculadora científica.
Decida com seu grupo qual método é mais conveniente para ser utilizado nessa situação dentre: Bisseção, Newton-Raphson ou Secante. Justifique essa decisão. Determine uma aproximação para a raiz com uma precisão de até quatro casas decimais. Apresente os resultados de cada iteração em função do método escolhido até ser obtida uma raiz com a precisão necessária (apresente os resultados com arredondamento de 6 casas decimais).
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e informa que há uma única raiz em
. É preciso aproximar essa raiz com pelo menos quatro casas decimais usando somente uma calculadora científica. O tema é métodos numéricos de busca de raízes em equações não lineares.
Passo 2
Vamos comparar brevemente os três métodos:
- Bisseção: garante convergência mas converge linearmente e exige muitas avaliações de
. - Newton–Raphson: converge rápido (quadraticamente) mas requer a derivada
, que aqui é expressão complexa para avaliar na calculadora. - Secante: não usa derivada e costuma convergir mais rápido que a bisseção.
Como dispomos apenas de calculadora científica e queremos rapidez sem derivadas, o método da secante é o mais conveniente.
Passo 3
No método da secante, dados dois palpites iniciais
e
, define-se
Escolhemos
e
. Calculamos:
,
.
Então
Então
Passo 4
Calculamos
e aplicamos de novo a fórmula:
Passo 5
Em seguida,
. Uma nova iteração dá
Passo 6
Verificamos a diferença
, cumprindo o critério para garantir quatro casas decimais.
Portanto a raiz aproximada é
Portanto a raiz aproximada é