Questão 2. Considere a seguinte função:
g(x)=\cos (x) \sqrt{1-x^{2}}-x^{2} e^{-x}
Sabe-se que a função g(x) possui uma única raiz para -0,65 \leq x \leq-0,57. Na solução de um problema, faz-se necessário encontrar uma aproximação para a raiz de g(x) com precisão de, pelo menos, 4 casas decimais. No entanto, sua equipe de trabalho precisa resolver o problema utilizando apenas uma calculadora científica.
Decida com seu grupo qual método é mais conveniente para ser utilizado nessa situação dentre: Bisseção, Newton-Raphson ou Secante. Justifique essa decisão. Determine uma aproximação para a raiz com uma precisão de até quatro casas decimais. Apresente os resultados de cada iteração em função do método escolhido até ser obtida uma raiz com a precisão necessária (apresente os resultados com arredondamento de 6 casas decimais).

Passo 1

O enunciado apresenta a função
g(x)=\cos(x)\sqrt{1 - x^{2}} \;-\; x^{2}e^{-x}
e informa que há uma única raiz em [-0{,}65,\,-0{,}57]. É preciso aproximar essa raiz com pelo menos quatro casas decimais usando somente uma calculadora científica. O tema é métodos numéricos de busca de raízes em equações não lineares.

Passo 2

Vamos comparar brevemente os três métodos:
  1. Bisseção: garante convergência mas converge linearmente e exige muitas avaliações de g(x).
  2. Newton–Raphson: converge rápido (quadraticamente) mas requer a derivada g'(x), que aqui é expressão complexa para avaliar na calculadora.
  3. Secante: não usa derivada e costuma convergir mais rápido que a bisseção.
    Como dispomos apenas de calculadora científica e queremos rapidez sem derivadas, o método da secante é o mais conveniente.

Passo 3

No método da secante, dados dois palpites iniciais x_{0} e x_{1}, define-se
x_{n+1} \;=\; x_{n} \;-\; g(x_{n})\;\frac{x_{n}-x_{n-1}}{g(x_{n})-g(x_{n-1})}.
Escolhemos x_{0}=-0{,}650000 e x_{1}=-0{,}570000. Calculamos: g(x_{0})=-0{,}203876, g(x_{1})=+0{,}116480.
Então
x_{2} = -0{,}570000 \;-\; 0{,}116480\;\frac{-0{,}570000 -(-0{,}650000)}{0{,}116480 -(-0{,}203876)} = -0{,}599084.

Passo 4

Calculamos g(x_{2})=+0{,}008220 e aplicamos de novo a fórmula:
x_{3} = -0{,}599084 \;-\; 0{,}008220\;\frac{-0{,}599084 -(-0{,}570000)}{0{,}008220 - 0{,}116480} = -0{,}601291.

Passo 5

Em seguida, g(x_{3})=-0{,}000031. Uma nova iteração dá
x_{4} = -0{,}601291 \;-\; (-0{,}000031)\;\frac{-0{,}601291 -(-0{,}599084)}{-0{,}000031 - 0{,}008220} = -0{,}601283.

Passo 6

Verificamos a diferença \lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx 0{,}0000086<0{,}00005, cumprindo o critério para garantir quatro casas decimais.
Portanto a raiz aproximada é
x\approx -0{,}6013.

Resposta

-0{,}6013 (precisão de quatro casas decimais)

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