QUESTÃO 1 (4,0 pontos)

Considere o sistema A x=b, onde: A=\left(\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & -4 \\\\ 4 & 10 & -6\end{array}\right) ; x=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) ; b=\left(\begin{array}{c}-6 \\\\ -9 \\\\ 2\end{array}\right).
a) Resolva o sistema de equações lineares aplicando o Método de Eliminação de Gauss com pivotação parcial ( 2,0 pontos).
b) Verifique a exatidão da solução através do cálculo do resíduo e erro ( 2,0 pontos).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema \;A x = b, com
A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & -4\\\\ 4 & 10 & -6 \end{pmatrix},\quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} -6 \\\\ -9 \\\\ 2 \end{pmatrix}.
O objetivo é (a) resolver por Eliminação de Gauss com pivotação parcial e (b) verificar a exatidão calculando o resíduo r = b - A x e o erro.

Passo 2

Aplicamos pivotação parcial na coluna 1: entre -2,2,4 o maior em módulo é 4, que está na linha 3. Trocamos linha 1 com linha 3, obtendo a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 2 & 1 & -4 & -9\\\\ -2 & 3 & 1 & -6 \end{array}\right].
Eliminamos abaixo do pivô 4 usando
m_{21} = \frac{2}{4} = 0,5,\quad m_{31} = \frac{-2}{4} = -0,5,
o que leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 0 & -4 & -1 & -10\\\\ 0 & 8 & -2 & -5 \end{array}\right].

Passo 3

Na coluna 2, entre -4 e 8 o maior em módulo é 8 (linha 3), trocamos linha 2 com linha 3 e eliminamos abaixo do pivô 8 com
m_{32} = \frac{-4}{8} = -0,5,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 0 & 8 & -2 & -5\\\\ 0 & 0 & -2 & -12{,}5 \end{array}\right].

Passo 4

Agora fazemos substituição regressiva:
Da linha 3:
-2\,x_3 = -12{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = 6{,}25.
Da linha 2:
8\,x_2 - 2\,x_3 = -5 \quad\Longrightarrow\quad 8\,x_2 - 2\cdot6{,}25 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 0{,}9375.
Da linha 1:
4\,x_1 + 10\,x_2 - 6\,x_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4\,x_1 + 10\cdot0{,}9375 - 6\cdot6{,}25 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 7{,}53125.

Passo 5

Calculamos o resíduo
r = b - A x.
Verificando cada componente, obtemos
r = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como r=0, a solução é exata e o erro é zero.

Resposta

x = \begin{pmatrix} 7{,}53125\\[6pt] 0{,}9375\\[6pt] 6{,}25 \end{pmatrix}, \quad r = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad \text{erro} = 0.]

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