Considere o seguinte sistema de equações lineares: \left\{\begin{array}{rlrrr}3 x_{1} & +x_{2} & +6 x_{3} & = & -6,5 \\\\ 4 x_{1} & +x_{2} & +x_{3} & = & 5 \\\\ -2 x_{1} & +5 x_{2} & +x_{3} & = & 0\end{array}\right.
a) Pode-se aplicar os Métodos Iterativos para a solução do sistema com convergência assegurada? Justifique ( 1,0 ponto).
b) Caso a convergência não esteja assegurada, assegure-a e resolva o sistema aplicando o Método Iterativo de Gauss-Seidel. Utilize \mathrm{X}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}, k_{\text {máx }}=6á e \varepsilon \leq 0,02(2,0 pontos).
e pergunta (a) se podemos garantir convergência de métodos iterativos e (b) caso negativo, como assegurar convergência e resolver por Gauss–Seidel, com \mathbf X^{(0)}=(0,0,0)^t, k_{\max}=6 e \varepsilon\le0{,}02. O conteúdo aqui é análise de convergência via dominância diagonal e aplicação do método de Gauss–Seidel.
Passo 2
Para garantir convergência de métodos iterativos lineares (Jacobi ou Gauss–Seidel), uma condição suficiente é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante em cada linha, isto é, \lvert a_{ii}\rvert>\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert. No sistema original:
- linha 1: \lvert3\rvert vs \lvert1\rvert+\lvert6\rvert=7 → não domina;
- linha 2: \lvert1\rvert vs \lvert4\rvert+\lvert1\rvert=5 → não domina;
- linha 3: \lvert1\rvert vs \lvert{-2}\rvert+\lvert5\rvert=7 → não domina.
Logo, a convergência não está assegurada.
Passo 3
Vamos permutar as equações para obter dominância diagonal. Escolhendo como primeira equação aquela cujo coeficiente de x_{1} é maior que soma dos outros:
4x_{1}+x_{2}+x_{3}=5.
Como segunda, tomamos a que domina em x_{2}:
-2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=0.
E como terceira, a que domina em x_{3}:
3x_{1}+x_{2}+6x_{3}=-6{,}5.
Verifica-se agora dominância estrita em cada linha:
|4|>1+1,\quad|5|>2+1,\quad|6|>3+1.
Passo 4
Escrevemos as fórmulas de Gauss–Seidel isolando cada incógnita na ordem permutada: