QUESTÃO 2 (3,0 pontos)

Considere o seguinte sistema de equações lineares: \left\{\begin{array}{rlrrr}3 x_{1} & +x_{2} & +6 x_{3} & = & -6,5 \\\\ 4 x_{1} & +x_{2} & +x_{3} & = & 5 \\\\ -2 x_{1} & +5 x_{2} & +x_{3} & = & 0\end{array}\right.
a) Pode-se aplicar os Métodos Iterativos para a solução do sistema com convergência assegurada? Justifique ( 1,0 ponto).
b) Caso a convergência não esteja assegurada, assegure-a e resolva o sistema aplicando o Método Iterativo de Gauss-Seidel. Utilize \mathrm{X}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}, k_{\text {máx }}=6á e \varepsilon \leq 0,02(2,0 pontos).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+x_{2}+6x_{3}=-6{,}5,\\\\ 4x_{1}+x_{2}+x_{3}=5,\\\\ -2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=0, \end{cases}
e pergunta (a) se podemos garantir convergência de métodos iterativos e (b) caso negativo, como assegurar convergência e resolver por Gauss–Seidel, com \mathbf X^{(0)}=(0,0,0)^t, k_{\max}=6 e \varepsilon\le0{,}02. O conteúdo aqui é análise de convergência via dominância diagonal e aplicação do método de Gauss–Seidel.

Passo 2

Para garantir convergência de métodos iterativos lineares (Jacobi ou Gauss–Seidel), uma condição suficiente é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante em cada linha, isto é, \lvert a_{ii}\rvert>\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert. No sistema original:
- linha 1: \lvert3\rvert vs \lvert1\rvert+\lvert6\rvert=7 → não domina;
- linha 2: \lvert1\rvert vs \lvert4\rvert+\lvert1\rvert=5 → não domina;
- linha 3: \lvert1\rvert vs \lvert{-2}\rvert+\lvert5\rvert=7 → não domina.
Logo, a convergência não está assegurada.

Passo 3

Vamos permutar as equações para obter dominância diagonal. Escolhendo como primeira equação aquela cujo coeficiente de x_{1} é maior que soma dos outros:
4x_{1}+x_{2}+x_{3}=5.
Como segunda, tomamos a que domina em x_{2}:
-2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=0.
E como terceira, a que domina em x_{3}:
3x_{1}+x_{2}+6x_{3}=-6{,}5.
Verifica-se agora dominância estrita em cada linha:
|4|>1+1,\quad|5|>2+1,\quad|6|>3+1.

Passo 4

Escrevemos as fórmulas de Gauss–Seidel isolando cada incógnita na ordem permutada:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(5 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(0 + 2\,x_{1}^{(k+1)} - x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{6}\bigl(-6{,}5 - 3\,x_{1}^{(k+1)} - x_{2}^{(k+1)}\bigr).

Passo 5

Aplicando com \mathbf X^{(0)}=(0,0,0)^t e \varepsilon=0{,}02:
\begin{array}{c|ccc|c} k & x_{1}^{(k)} & x_{2}^{(k)} & x_{3}^{(k)} & \max\bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|\\hline 1 & 1{,}250000 & 0{,}500000 & -1{,}791667 & 1{,}791667\\\\ 2 & 1{,}572917 & 0{,}987500 & -2{,}034375 & 0{,}487500\\\\ 3 & 1{,}511719 & 1{,}011563 & -2{,}007786 & 0{,}061198\\\\ 4 & 1{,}499056 & 1{,}001180 & -1{,}999725 & 0{,}012662\\\ \end{array}
No k=4 o erro máximo fica abaixo de 0{,}02, então paramos.

Resposta

A convergência não estava assegurada no sistema original por falta de dominância diagonal. Após permutar as equações para
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}=5,\\\\ -2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 3x_{1}+x_{2}+6x_{3}=-6{,}5, \end{cases}
aplicando Gauss–Seidel com \mathbf X^{(0)}=(0,0,0)^t e \varepsilon=0{,}02 obtemos em k=4 a aproximação
x_{1}\approx1{,}4991,\quad x_{2}\approx1{,}0012,\quad x_{3}\approx-1{,}9997.

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