Questão 4. Seja 0<\epsilon<1. Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.5 & 0 \\\\ 0.5 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right) .
  1. Calcule a decomposição L U com pivotação parcial de A.
  2. Usando a decomposição L U calcule \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0,5 & 0 \\\\ 0,5 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. Calcular a decomposição LU com pivotação parcial de A.
  2. Usando essa decomposição, calcular \det(A).
Também o enunciado menciona 0<\epsilon<1, mas essa constante não aparece na matriz nem nas instruções seguintes; portanto ela não será usada na resolução (vou continuar, mas avisando que não influencia o problema).
Informações relevantes que temos:
A=\begin{pmatrix} 0 & 0,5 & 0 \\\\ 0,5 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
O objetivo é obter matrizes P (permutação), L (triangular inferior unitária) e U (triangular superior) tais que
PA=LU,
usando pivotação parcial, e então obter \det(A).

Passo 2

Breve explicação do método (didática):
  • Pivotação parcial significa, em cada passo de eliminação gaussiana, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto na coluna atual entre as linhas ainda não eliminadas e, se necessário, trocar linhas para colocar esse pivô na posição corrente. Cada troca de linhas corresponde a multiplicar por uma matriz de permutação P.
  • O objetivo é reescrever A como PA=LU, onde P recolhe as trocas de linha feitas durante a factorização.
  • A matriz L é triangular inferior com 1’s na diagonal; os elementos abaixo da diagonal são os multiplicadores usados para zerar elementos durante a eliminação.
  • A matriz U é o resultado triangular superior após aplicar as operações de linha (já com as linhas permutadas conforme P).
  • Para calcular o determinante: a partir de PA=LU temos \det(P)\det(A)=\det(L)\det(U). Como \det(L)=1 (unipotente), obtemos
\det(A)=\det(P)^{-1}\det(U).
Como \det(P)=\pm1 +1 se o número de trocas for par, -1 se ímpar), basta contar o número de trocas e multiplicar pelos elementos diagonais de U.

Passo 3

Primeiro passo da eliminação (coluna 1, pivotação parcial):
  • Olhamos os elementos da coluna 1 nas linhas 1 a 3: \,0,\;0,5,\;0. O maior em valor absoluto é 0,5 (na linha 2).
  • Logo, trocamos a linha 1 com a linha 2 (uma troca). Essa troca corresponde a aplicar uma matriz de permutação; mais adiante construiremos P.
Aplicando a troca R_1\leftrightarrow R_2 em A obtemos
A^{(1)}=\begin{pmatrix} 0,5 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0,5 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Eliminação usando o pivô \,a_{11}=0,5 na nova primeira linha:
  • Calculamos os multiplicadores para zerar os elementos abaixo do pivô na coluna 1:
\ell_{21}=\frac{a^{(1)}_{21}}{a^{(1)}_{11}}=\frac{0}{0,5}=0,\qquad \ell_{31}=\frac{a^{(1)}_{31}}{a^{(1)}_{11}}=\frac{0}{0,5}=0.
  • Como ambos são zero, não alteramos as linhas 2 e 3 nesta coluna; portanto, após este passo as linhas 2 e 3 permanecem iguais em A^{(1)}.
Os multiplicadores da primeira coluna são \ell_{21}=0 e \ell_{31}=0.

Passo 5

Segundo passo da eliminação (coluna 2, pivotação parcial no bloco inferior):
  • Agora consideramos a submatriz formada pelas linhas 2 e 3 e coluna 2. Os candidatos a pivô são a^{(1)}_{22}=0,5 (linha 2) e a^{(1)}_{32}=2 (linha 3). O maior em valor absoluto é 2 (linha 3).
  • Portanto trocamos a linha 2 com a linha 3 (segunda troca). Aplicando essa troca ao que temos, obtemos
A^{(2)}=\begin{pmatrix} 0,5 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix}.
Observação sobre permutações: até agora fizemos duas trocas de linhas (par), portanto a matriz de permutação total P terá determinante +1. Mais adiante vamos escrever P explicitamente.]

Passo 6

Eliminação usando o pivô a^{(2)}_{22}=2:
  • Calculamos o multiplicador para zerar a posição (3,2):
\ell_{32}=\frac{a^{(2)}_{32}}{a^{(2)}_{22}}=\frac{0,5}{2}=0,25.
  • Aplicamos a operação R_3 \leftarrow R_3 - \ell_{32} R_2:
R_3 = (0,\;0,5,\;0) - 0,25\cdot(0,\;2,\;4) = (0,\;0{,}5-0{,}5,\;0-1)=(0,\;0,\;-1).
  • Após essa eliminação, obtemos a matriz triangular superior U:
U=\begin{pmatrix} 0,5 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Construção da matriz L (matriz dos multiplicadores) e da matriz de permutação P:
  • Os multiplicadores que usamos foram:
    • para a primeira coluna: \ell_{21}=0,\;\ell_{31}=0;
    • para a segunda coluna (após permutar): \ell_{32}=0,25.
  • A convenção de LU com PA=LU é construir L triangular inferior unitária contendo esses multiplicadores na posição correspondente à ordem de eliminação sobre PA. Assim:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0{,}25 & 1 \end{pmatrix}.
  • A permutação total aplicada às linhas de A (em ordem) foi: começamos com (1,2,3), após a primeira troca ficou (2,1,3) e após a segunda troca ficou (2,3,1). Ou seja, P reordena as linhas de A para (\text{linha }2,\;\text{linha }3,\;\text{linha }1). A matriz de permutação correspondente é
P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
pois PA coloca a 2ª linha original de A na 1ª posição, a 3ª na 2ª e a 1ª na 3ª.
  • Verificação rápida (opcional de entendimento): calculando PA obtemos
PA=\begin{pmatrix} 0,5 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix},
e de fato PA=LU com os L e U acima (pode-se multiplicar L por U para verificar).]

Passo 8

Cálculo do determinante usando PA=LU:
  • Temos \det(P)\det(A)=\det(L)\det(U).
  • Como L é unitária triangular, \det(L)=1.
  • O número de trocas de linhas foi 2 (par), portanto \det(P)=(-1)^2=+1.
  • Assim \det(A)=\det(P)^{-1}\det(L)\det(U)=\det(U).
  • O determinante de U é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(U)=0,5\cdot 2\cdot(-1) = -1.
  • Logo
\det(A)=-1.

Resposta

  1. P=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]1 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0{,}25 & 1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}0{,}5 & 0 & 2\\[4pt]0 & 2 & 4\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
  2. \det(A)=-1]

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