Use a regra de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões e maior precisão). Justifique.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccr} x^{2} & \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \\\ (x+2)^{3} & \text { se } & 1<x \leq 2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \int_{0}^{2}f(x)\,dx usando a regra de Simpson com o menor número de divisões e máxima precisão.
Aqui f é peça-a-peça polinomial: grau 2 em [0,1] e grau 3 em [1,2]. A regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3, então basta aplicar um painel de Simpson em cada trecho.

Passo 2

Em cada trecho usaremos um painel de Simpson (ou seja, n=2 subintervalos) pois:
\text{Simpson é exata para polinômios de grau}\;\le3,éô
e cada pedaço de f é polinomial de grau \le3. Assim cada aplicação de Simpson dá o valor exato da integral naquele trecho.

Passo 3

Trecho de 0 a 1, com h=\frac{1-0}{2}=0,5.
S_{1}=\frac{h}{3}\Bigl[f(0)+4f(0,5)+f(1)\Bigr] =\frac{0,5}{3}\Bigl[0^2+4\cdot(0,5)^2+1^2\Bigr] =\frac{0,5}{3}[0+4\cdot0,25+1] =\frac{1}{3}.

Passo 4

Trecho de 1 a 2, com h=\frac{2-1}{2}=0,5.
Como o valor de um ponto isolado não altera a integral, usamos em Simpson f(1)=(1+2)^3=27.
S_{2}=\frac{h}{3}\Bigl[f(1)+4f(1,5)+f(2)\Bigr] =\frac{0,5}{3}\Bigl[27+4\cdot(3,5)^3+64\Bigr] =\frac{1}{6}\bigl[27+4\cdot42{,}875+64\bigr] =\frac{175}{4}.

Passo 5

Somando as duas partes:
\int_{0}^{2}f(x)\,dx = S_{1}+S_{2} =\frac{1}{3}+\frac{175}{4} =\frac{4+525}{12} =\frac{529}{12}.

Resposta

\frac{529}{12}

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