Questão 8: Refaça a demonstração do seguinte resultado visto em sala:
Teorema 1: Dados
pontos
, então existe um único polinômio
de grau menor ou igual a
tal que
Teorema 1: Dados
Passo 1
O enunciado afirma que, dados
pontos distintos
com para
, existe um único polinômio
de grau
que interpola esses pontos:
com
O conteúdo usado é interpolação polinomial: vamos construir o polinômio de Lagrange para mostrar existência e depois usar o argumento do polinômio diferença para garantir unicidade.
Passo 2
Definimos, para cada
, o polinômio de base de Lagrange
Cada
é de grau
e satisfaz
(delta de Kronecker), ou seja,
e
se
.
Passo 3
Com as bases
construídas, tomamos
Como cada
tem grau
, segue que
.
E ao avaliar em , todos os termos com
anulam-se, restando
E ao avaliar em
Logo
interpola os
pontos, provando a existência.
Passo 4
Para a unicidade, suponha que haja outros dois polinômios
e
de grau
que interpolam os mesmos pontos.
Considere o polinômio diferença
Considere o polinômio diferença
Então
e
para
. São
raízes distintas, portanto
é o polinômio zero. Logo
, garantindo unicidade.
Resposta
O polinômio existe e é único; de forma explícita,