Questão 8: Refaça a demonstração do seguinte resultado visto em sala:
Teorema 1: Dados n+1 pontos \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right), \ldots,\left(x_{n}, f\left(x_{n}\right)\right) \operatorname{com} x_{i} \neq x_{j}, \forall i, j \in\{0, \ldots, n\} \mathrm{e} i \neq j, então existe um único polinômio p_{n}(x) de grau menor ou igual a n tal que
p_{n}\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right), \quad \forall i \in\{1, \ldots, n\}

Passo 1

O enunciado afirma que, dados n+1 pontos distintos \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr),\dots,\bigl(x_{n},f(x_{n})\bigr)
com x_{i}\neq x_{j} para i\neq j, existe um único polinômio p_{n}(x) de grau \le n que interpola esses pontos:
p_{n}(x_{i}) = f(x_{i}),\quad i=0,1,\dots,n.
O conteúdo usado é interpolação polinomial: vamos construir o polinômio de Lagrange para mostrar existência e depois usar o argumento do polinômio diferença para garantir unicidade.

Passo 2

Definimos, para cada i=0,\dots,n, o polinômio de base de Lagrange
\ell_{i}(x) \;=\;\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{n} \frac{x - x_{j}}{\,x_{i}-x_{j}\,}.
Cada \ell_{i}(x) é de grau n e satisfaz \ell_{i}(x_{j})=\delta_{ij} (delta de Kronecker), ou seja, \ell_{i}(x_{i})=1 e \ell_{i}(x_{j})=0 se j\neq i.

Passo 3

Com as bases \ell_{i} construídas, tomamos
p_{n}(x) \;=\; \sum_{i=0}^{n} f\bigl(x_{i}\bigr)\,\ell_{i}(x).
Como cada \ell_{i} tem grau n, segue que \deg p_{n}\le n.
E ao avaliar em x_{k}, todos os termos com i\neq k anulam-se, restando
p_{n}(x_{k}) = \sum_{i=0}^{n} f\bigl(x_{i}\bigr)\,\ell_{i}(x_{k}) = f\bigl(x_{k}\bigr)\,\ell_{k}(x_{k}) = f\bigl(x_{k}\bigr)\cdot1 = f\bigl(x_{k}\bigr).
Logo p_{n} interpola os n+1 pontos, provando a existência.

Passo 4

Para a unicidade, suponha que haja outros dois polinômios p_{n} e q_{n} de grau \le n que interpolam os mesmos pontos.
Considere o polinômio diferença
d(x) \;=\; p_{n}(x) - q_{n}(x).
Então \deg d\le n e d(x_{i})=0 para i=0,\dots,n. São n+1 raízes distintas, portanto d é o polinômio zero. Logo p_{n}=q_{n}, garantindo unicidade.

Resposta

O polinômio existe e é único; de forma explícita,
p_{n}(x) \;=\; \sum_{i=0}^{n} f\bigl(x_{i}\bigr)\,\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{n} \frac{x - x_{j}}{\,x_{i}-x_{j}\,}.

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