Questão 2: Uln motorista conferiu através do velocímetro (suponla que o velocímetro seja exato) as seguintes velocidades:
distância d(\mathrm{~km}) 0 0,2 0,4 0,6 0,8
velocidade v(\mathrm{~km} / \mathrm{h}) 81,5 85,5 87,5 93,5 86,5
(a) (1,5 ponto) Usando interpolação quadrática de Lagrange, a velocidade aproximada em km/h quando o motorista está numa distância d=0,35 \mathrm{~km} é de:
(i) 83.6250
(ii) 84,6250
(iii) 85,6250
(6) 86,6250
(v) n.r.a.
(b) (1,5 ponto) Usando o ajuste linear pelo Método dos Mínimos Quadrados, a velocidade esperada em \mathrm{km} / \mathrm{h} quando d=1,0 \mathrm{~km} é de:
(i) 92,5941
(ii) 91,5941
(iii) 90,5941
(iv) 89,5941
(B) n.r.a.

Passo 1

O enunciado fornece medições exatas de velocidade v em função da distância d:
\begin{array}{c|ccccc} d\;(\mathrm{km}) & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8\\hline v\;(\mathrm{km/h}) &81,5&85,5&87,5&93,5&86,5 \end{array}
e pede em (a) a velocidade aproximada em d=0,35 usando interpolação quadrática de Lagrange e em (b) a velocidade em d=1{,}0 usando ajuste linear por mínimos quadrados.

Passo 2

Para a interpolação quadrática em d=0,35 escolhemos os três nós mais próximos:
(0{,}2,85,5), (0{,}4,87,5) e (0{,}6,93,5). A forma geral é
P(d)=\sum_{i=0}^{2}v_i\,\ell_i(d),
onde, por exemplo,
\ell_0(d)=\frac{(d-0{,}4)(d-0{,}6)}{(0{,}2-0{,}4)(0{,}2-0{,}6)},\quad \ell_1(d)=\frac{(d-0{,}2)(d-0{,}6)}{(0{,}4-0{,}2)(0{,}4-0{,}6)},\quad \ell_2(d)=\frac{(d-0{,}2)(d-0{,}4)}{(0{,}6-0{,}2)(0{,}6-0{,}4)}.

Passo 3

Calculando em d=0,35:
\ell_0(0,35)=0,15625,\quad \ell_1(0,35)=0,93750,\quad \ell_2(0,35)=-0,09375
e
P(0,35)=85,5\cdot0,15625+87,5\cdot0,93750+93,5\cdot(-0,09375)=86,6250.
Logo, a velocidade aproximada é 86,6250 km/h.

Passo 4

Para o ajuste linear v=a+bd por mínimos quadrados, usamos as fórmulas
b=\frac{n\sum d_i v_i - (\sum d_i)(\sum v_i)}{n\sum d_i^2 - (\sum d_i)^2},\quad a=\frac{\sum v_i - b\sum d_i}{n},
com n=5, \sum d_i=2{,}0, \sum v_i=434{,}5, \sum d_i^2=1{,}2 e \sum d_i v_i=177{,}4. Isso dá
b=\frac{5\cdot177,4 - 2\cdot434,5}{5\cdot1,2 - 2^2}=9{,}0,\quad a=\frac{434,5 - 9\cdot2}{5}=83{,}3.

Passo 5

Com v(d)=83,3 + 9,0\,d, em d=1{,}0 obtemos
v(1{,}0)=83,3 + 9\cdot1 = 92{,}3\;\mathrm{km/h}.
Como nenhuma das alternativas coincide com 92{,}3, escolhemos “nenhuma das anteriores”.

Resposta

(a) 86,6250 (alternativa (iv)).
(b) nenhuma das alternativas.

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