Informações relevantes que temos: as quatro equações acima; queremos encontrar (x,y,z,w) que satisfaçam todas elas simultaneamente. A técnica solicitada é o método do escalonamento (eliminação de Gauss): transformar o sistema numa forma escalonada por operações nas linhas e depois resolver.
Passo 2
Primeira ideia prática — vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das incógnitas e o termo independente numa mesma matriz:
Aqui cada linha corresponde a uma equação e as colunas correspondem a x,y,z,w e o termo à direita (depois da barra).]
Passo 3
Breve pausa didática: operações elementares de linha que podemos usar (sem alterar o conjunto de soluções) são:
trocar duas linhas: R_i\leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i\leftarrow kR_i com k\neq0;
somar a um múltiplo de uma linha outra linha: R_i\leftarrow R_i + kR_j.
Usaremos essas operações para zerar coeficientes abaixo dos pivôs (elementos principais) e obter uma matriz triangular superior (escalonada).
Passo 4
Começamos pelo pivô da primeira coluna (já é 1 na primeira linha). Zeramos os elementos abaixo dele:
R_2\leftarrow R_2-2R_1.
R_3\leftarrow R_3-3R_1.
R_4\leftarrow R_4+R_1.
Calculemos cada linha resultante:
Para R_2: [2,1,-1,1|1] - 2\cdot[1,1,0,3|4] = [0,-1,-1,-5|-7].
Para R_3: [3,-1,-1,2|-3] - 3\cdot[1,1,0,3|4] = [0,-4,-1,-7|-15].
Para R_4: [-1,2,3,-1|4] + [1,1,0,3|4] = [0,3,3,2|8].
A quarta linha tem o único coeficiente não-zero na coluna de w: -13. Normalizamos R_4 dividindo por -13 para obter o pivô 1 na coluna de w:
R_4\leftarrow \tfrac{1}{-13}R_4 = [0,0,0,1,1].
Isso mostra já que w=1.
Agora zeramos a coluna de w nas linhas acima usando R_4:
R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{7}{3}R_4.
R_2\leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_4.
R_3\leftarrow R_3 - \tfrac{13}{3}R_4.
Como R_4=[0,0,0,1,1], as subtrações afetam só a coluna w e o termo independente:
Para R_1: \tfrac{4}{3} - \tfrac{7}{3}\cdot 1 = \tfrac{4}{3}-\tfrac{7}{3} = -1. E a coluna w fica 0. Logo R_1=[1,0,0,0,-1].
Para R_2: \tfrac{8}{3} - \tfrac{2}{3}\cdot 1 = \tfrac{6}{3}=2. Logo R_2=[0,1,0,0,2].
Para R_3: \tfrac{13}{3} - \tfrac{13}{3}\cdot 1 = 0. Logo R_3=[0,0,1,0,0].
A matriz totalmente reduzida (forma reduzida por linhas) é:
Interpretação final (back-substitution simples): cada linha agora dá diretamente o valor de uma variável:
\begin{aligned} x &= -1,\\\ y &= 2,\\\ z &= 0,\\\ w &= 1. \end{aligned}
Pequena checagem mental: se substituir esses valores nas equações originais, todas se satisfazem (por exemplo, x+y+3w = -1+2+3\cdot1 = 4, ok). Então a solução está correta.