Questão 1 ( 0,5 ponto cada) Marque ( V ) se Verdadeira e ( F ) se Falsa:
(F) O número 1010 se escreve na base 2 como (1111100001)_{2}.
(F) O número (0.1011001)_{2} escrito na base 10 , é igual a 0.695521 .
(V) Se o sistema F(\beta, 4,[1,4]) tem exatamente 433 elementos, então \beta é um número ímpar.
(F) Existe um sistema de ponto flutuante da forma F=F(2, t,[-2,2]), tal que a soma do seu maior elemento M, com o menor elemento m é \frac{82}{27}.
( F ) Representando-se x=8.25 no sistema F(2,3,|-3,3|) tem-se underflow.

Passo 1

O enunciado pede para marcar V (verdadeira) ou F (falsa) cinco afirmações. Vou listar explicitamente cada afirmação que preciso avaliar (sem resolver ainda), para que a gente saiba o que vem a seguir:
  1. (F) O número 1010 se escreve na base 2 como (1111100001)_{2}.
  2. (F) O número (0.1011001)_{2} escrito na base 10 é igual a 0,695521.
  3. (V) Se o sistema F(\beta,4,[1,4]) tem exatamente 433 elementos, então \beta é um número ímpar.
  4. (F) Existe um sistema de ponto flutuante da forma F=F(2,t,[-2,2]), tal que a soma do seu maior elemento M com o menor elemento m é \dfrac{82}{27}.
  5. (F) Representando-se x=8,25 no sistema F(2,3,[-3,3]) tem-se underflow.
A partir do próximo passo eu resolvo cada uma dessas afirmações, mostrando as contas e a teoria necessária passo a passo.

Passo 2

Afirmação 1: converter 1010 (assumo que é em base decimal) para base 2 e comparar com (1111100001)_{2}.
Explicação da técnica (método com potências de 2, que é direto e útil na prova): para escrever um inteiro N em base 2, achamos as potências de 2 menores ou iguais a N e subtraímos sequencialmente (o método “greedy”). Cada potência de 2^k correspondendo ao bit na posição k.
Aplicação com N=1010:
  • As potências de 2 perto de 1010 são \dots,2^9=512,\;2^{10}=1024. Então o maior expoente que cabe é 9.
  • Subtraio sucessivamente: 1010-2^9=1010-512=498.Logo o bit de 2^9 é 1.
  • Segue 2^8=256: 498-256=242,bit de 2^8 é 1.
  • 2^7=128: 242-128=114,bit 1.
  • 2^6=64: 114-64=50,bit 1.
  • 2^5=32: 50-32=18,bit 1.
  • 2^4=16: 18-16=2,bit 1.
  • 2^3=8 não cabe em 2, então bit 0.
  • 2^2=4 não cabe, bit 0.
  • 2^1=2 cabe: 2-2=0,bit 1.
  • 2^0=1 agora sobra 0, bit 0.
Assim os bits de 2^9 até 2^0 são
1,1,1,1,1,1,0,0,1,0,
ou seja
(1010)_{10}=(1111110010)_2.
Comparando com a afirmação dada (1111100001)_2: elas são diferentes. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: converter (0.1011001)_2 para base decimal e comparar com 0,695521.
Teoria necessária (conversão de fração binária): um número fracionário (0.b_1 b_2 b_3\ldots)_2 vale
\sum_{k=1}^{\infty} b_k 2^{-k},
onde cada b_k\in\{0,1\}. Ou seja, o dígito na posição k vale 2^{-k}.
Aplicação para (0.1011001)_2: temos os dígitos b_1=1,\;b_2=0,\;b_3=1,\;b_4=1,\;b_5=0,\;b_6=0,\;b_7=1. Então
(0.1011001)_2 = 1\cdot 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} + 0\cdot 2^{-5} + 0\cdot 2^{-6} + 1\cdot 2^{-7}.
Calcule passo a passo (valores decimais):
2^{-1}=0,5,
2^{-3}=0,125,
2^{-4}=0,0625,
2^{-7}=\dfrac{1}{128}=0,0078125.
Somando:
0,5 + 0,125 + 0,0625 + 0,0078125 = 0,6953125.
A afirmação afirmava 0,695521. Como 0,6953125 \neq 0,695521, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: se o sistema F(\beta,4,[1,4]) tem exatamente 433 elementos, então \beta é ímpar. Vou mostrar que isso é verdadeiro calculando \beta.
Teoria (quantos números tem um sistema de ponto flutuante normalizado): supondo que o sistema F(\beta,t,[L,U]) use representações normalizadas do tipo
\pm (d_0.d_1d_2\ldots d_{t-1})_\beta \times \beta^e,
onde d_0\in\{1,2,\dots,\beta-1\} (ou seja, o primeiro dígito não nulo), cada d_i\in\{0,\dots,\beta-1\}, e e\in\{L,\dots,U\}. Então o número de mantissas possíveis é (\beta-1)\beta^{t-1} (escolha do dígito líder d_0 e dos t-1 dígitos seguintes), o número de expoentes possíveis é U-L+1, e há sinais \pm. Somando também o zero, o total de elementos é
N = 2(\beta-1)\beta^{t-1}(U-L+1) + 1.
Aplicando ao nosso caso: t=4, [L,U]=[1,4] tem U-L+1=4. Logo
N = 2(\beta-1)\beta^{3}\cdot 4 + 1 = 8(\beta-1)\beta^{3} + 1.
Queremos N=433. Então
8(\beta-1)\beta^{3} + 1 = 433.
Passos algébricos:
8(\beta-1)\beta^{3} = 432,
(\beta-1)\beta^{3} = 54,
\beta^{4} - \beta^{3} - 54 = 0.
Agora procuramos \beta inteiro positivo que satisfaça isso. Testando valores pequenos:
  • \beta=2: 16-8-54=-46 (não).
  • \beta=3: 81-27-54=0. Bingo: \beta=3 é raiz.
Logo \beta=3. Como 3 é ímpar, a afirmação “então \beta é um número ímpar” é verdadeira. Concluímos que a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: existe t tal que para F(2,t,[-2,2]) a soma do maior elemento M com o menor m seja \dfrac{82}{27}. Vou mostrar que isso é impossível.
Primeiro, defino claramente M e m no sentido de números normalizados:
  • Para base \beta=2 e precisão t, a mantissa normalizada máxima (quando todos os t dígitos são 1 com primeiro dígito também 1) é
    M_{\text{mant}} = 1 + \sum_{i=1}^{t-1} 2^{-i} = 2 - 2^{-(t-1)}.
    O maior número representável M usa esse mantissa com o expoente máximo e_{\max}=2:
    M = M_{\text{mant}}\cdot 2^{2} = \bigl(2 - 2^{-(t-1)}\bigr)\cdot 4 = 8 - 4\cdot 2^{-(t-1)}.
    Podemos também escrever 4\cdot 2^{-(t-1)} = 2^{-(t-3)}, então
    M = 8 - 2^{-(t-3)}.
  • O menor número positivo normalizado m corresponde à mantissa 1.0\ldots0 com o expoente mínimo e_{\min}=-2:
    m = 1\cdot 2^{-2} = \tfrac{1}{4}=0{,}25.
Portanto
M + m = \bigl(8 - 2^{-(t-3)}\bigr) + \tfrac{1}{4} = 8{,}25 - 2^{-(t-3)}.
Agora raciocínio de impossibilidade: note que t é inteiro positivo. Vamos ver os valores possíveis (alguns exemplos):
  • Se t=1: 2^{-(t-3)}=2^{2}=4, então M+m=8{,}25-4=4{,}25.
  • Se t=2: 2^{-( -1)}=2^{1}=2, então M+m=6{,}25.
  • Se t=3: 2^{0}=1, então M+m=7{,}25.
  • Para t\ge 4: 2^{-(t-3)} é um número positivo decrescente, então M+m aumenta e tende a 8{,}25 quando t\to\infty. Em todo caso M+m\ge 4{,}25 para todo t\ge 1.
Agora compare com o valor pedido:
\dfrac{82}{27}\approx 3{,}037\dots
Esse valor é menor que 4{,}25, que é o menor possível para M+m. Logo não existe t tal que M+m=\dfrac{82}{27}. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 6

Afirmação 5: representando x=8{,}25 no sistema F(2,3,[-3,3]) tem-se underflow.
Primeiro, defino underflow (no sentido usual de sistemas normalizados): underflow ocorre quando o número (em módulo) é menor que o menor número positivo normalizado representável m (ou menor que o menor denormalizável, dependendo do modelo). Em particular, números grandes positivos como 8{,}25 não podem causar underflow — underflow é quando o número é muito pequeno, perto de zero.
Vou calcular como 8{,}25 aparece em binário e checar se está dentro da gama representável.
Conversão rápida de 8{,}25 para binário:
  • Parte inteira 8 = 2^{3} é 1000_2.
  • Parte fracionária 0{,}25 = 1/4 = 2^{-2} é 0.01_2.
    Logo
8{,}25 = 1000{,}01_2.
Forma normalizada: mover o ponto para obter mantissa entre 1 e 2:
8{,}25 = 1{,}00001_2 \times 2^{3}.
No sistema F(2,3,[-3,3]) a precisão t=3 significa que a mantissa tem 3 dígitos no total (o dígito líder 1 mais t-1=2 dígitos fracionários). Então a mantissa armazenável é 1.d_1 d_2. A mantissa real desejada é 1.00001_2; ela será arredondada ao formato de t=3 (por exemplo para 1.00_2 se for arredondamento por truncamento, ou possivelmente para 1.00_2 também por arredondamento ao par, dependendo da política). Em qualquer caso, o valor representado será um número finito e normal (provavelmente 1.00_2\times 2^3 = 8 ou, se houvesse bits que fizessem arredondar para 1.01_2, seria 1.01_2\times 2^3 = 1{,}25\times 8 = 10, mas nada disso dá underflow).
Além disso, a faixa de expoentes é [-3,3]; como 8{,}25 = 1.\dots \times 2^{3}, o expoente 3 está no limite superior permitido — o número é representável (ou pelo menos arredondável) como normal, não é demasiado pequeno. Portanto não ocorre underflow.
Logo a afirmação é falsa.

Resposta

(F)
(F)
(V)
(F)
(F)

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