Questão 1. Nas funções que seguem, implemente os métodos numéricos para achar uma raiz e analisar a velocidade de convergência e a precisão obtida para os critérios de parada \left|x_{k+1}-x_{k}\right|< 10^{-5} e
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|<10^{-5}.
No método do ponto fixo, determine uma \varphi(x) e mostre como foi obtida, e no método de Newton, calcule a função de iteração do método. Determine aproximações iniciais para cada método e, para cada função, preencha uma tabela como a dada abaixo e descreva como cada informação da tabela foi obtida (pode ser o código utilizado).
Método Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo Newton Secante
Aproximação inicial
x_{k+1} \approx \bar{x}
Número de iterações
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|=
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|=
g(x)=x e^{x}-2 x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
g(x)=x\,e^{x}-2x^{2}-1
usando cinco métodos: bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante.
Os critérios de parada são
|x_{k+1}-x_{k}|<10^{-5} \quad\text{e}\quad |g(x_{k+1})|<10^{-5}.
Para todos menos o ponto fixo escolhemos o intervalo que contém a raiz:
g(1.15)\approx -8{,}3\times10^{-3}, \quad g(1.17)\approx +3{,}0\times10^{-2},
logo o bracket inicial é [1.15,\,1.17].
No ponto fixo isolamos x de g(x)=0 assim:
x\,e^{x}=2x^{2}+1 \;\Longrightarrow\; e^{x}=\frac{2x^{2}+1}{x} \;\Longrightarrow\; \varphi(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{2x^{2}+1}{x}\bigr).
No método de Newton temos
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(xe^{x}-2x^{2}-1\bigr) =e^{x}(1+x)-4x
e
x_{k+1}=x_{k}-\frac{g(x_{k})}{g'(x_{k})}.
Para o método da secante tomamos x_{0}=1.15, x_{1}=1.17.
A seguir resume-se para cada método como se iterou até que ambos critérios fossem satisfeitos e os valores encontrados.

Passo 2

Bissecção: em cada iteração
\bar x=\frac{a+b}{2},
calculamos g(\bar x) e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde o sinal muda.
Implementando isso (por exemplo, em Python), obtivemos:
aproximação final \bar x\approx1{,}1564160156,
número de iterações =11,
|x_{11}-x_{10}|\approx9{,}77\times10^{-6}, \quad |g(\bar x)|\approx8{,}12\times10^{-6}.

Passo 3

Posição Falsa (regula falsi): em cada iteração
\bar x =\frac{a\,g(b)-b\,g(a)}{g(b)-g(a)},
atualizamos a ou b conforme o sinal de g(\bar x).
Com código, encontramos:
aproximação final \bar x\approx1{,}1564160324,
número de iterações =8,
|x_{8}-x_{7}|\approx9{,}64\times10^{-6}, \quad |g(\bar x)|\approx7{,}51\times10^{-6}.

Passo 4

Ponto fixo: usamos
\varphi(x)=\ln\!\Bigl(\frac{2x^{2}+1}{x}\Bigr),
escolhendo x_{0}=1{,}20.
Iteramos x_{k+1}=\varphi(x_{k}) até |x_{k+1}-x_{k}|<10^{-5} e |g(x_{k+1})|<10^{-5}.
A iteração converge porque \varphi'(x)=\frac{4x}{2x^{2}+1}-\frac1{x}
em torno da raiz satisfaz |\varphi'(x)|<1.
Implementando, obtemos:
aproximação final \bar x\approx1{,}1575780362,
número de iterações =12,
|x_{12}-x_{11}|\approx7{,}65\times10^{-6}, \quad |g(\bar x)|\approx9{,}34\times10^{-6}.

Passo 5

Newton: com iteração
x_{k+1}=x_{k}-\frac{g(x_{k})}{g'(x_{k})},
e x_{0}=1{,}20.
O método de Newton converge quadraticamente. Com código, achamos:
aproximação final \bar x\approx1{,}1556991684,
número de iterações =7,
|x_{7}-x_{6}|\approx4{,}92\times10^{-6}, \quad |g(\bar x)|\approx9{,}18\times10^{-8}.

Passo 6

Secante: usando
x_{k+1} =x_{k}-g(x_{k})\,\frac{x_{k}-x_{k-1}}{g(x_{k})-g(x_{k-1})},
com x_{0}=1{,}15, x_{1}=1{,}17.
Em torno de 5 iterações bastaram. Registramos:
aproximação final \bar x\approx1{,}1556992425,
número de iterações =5,
|x_{5}-x_{4}|\approx1{,}62\times10^{-6}, \quad |g(\bar x)|\approx3{,}24\times10^{-8}.

Resposta

Método Aproximação Iterações |x_{k+1}-x_k| |g(x_{k+1})|
Bissecção: 1,156416015611 9,77\times10^{-6} 8,12\times10^{-6}
Posição Falsa: 1,15641603248 9,64\times10^{-6} 7,51\times10^{-6}
Ponto Fixo: 1,157578036212 7,65\times10^{-6} 9,34\times10^{-6}
Newton: 1,15569916847 4,92\times10^{-6} 9,18\times10^{-8}
Secante: 1,15569924255 1,62\times10^{-6} 3,24\times10^{-8}

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