Questão 1. Nas funções que seguem, implemente os métodos numéricos para achar uma raiz e analisar a velocidade de convergência e a precisão obtida para os critérios de parada
e
.
No método do ponto fixo, determine uma
e mostre como foi obtida, e no método de Newton, calcule a função de iteração do método. Determine aproximações iniciais para cada método e, para cada função, preencha uma tabela como a dada abaixo e descreva como cada informação da tabela foi obtida (pode ser o código utilizado).
Método
Bissecção
Posição Falsa
Ponto Fixo
Newton
Secante
Aproximação inicial
Número de iterações
No método do ponto fixo, determine uma
Método | Bissecção | Posição Falsa | Ponto Fixo | Newton | Secante |
Aproximação inicial | |||||
|
|||||
Número de iterações | |||||
|
|||||
|
Passo 1
O enunciado pede a raiz de
usando cinco métodos: bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante.
Os critérios de parada são
Os critérios de parada são
Para todos menos o ponto fixo escolhemos o intervalo que contém a raiz:
logo o bracket inicial é
.
No ponto fixo isolamos de
assim:
No ponto fixo isolamos
No método de Newton temos
e
Para o método da secante tomamos
,
.
A seguir resume-se para cada método como se iterou até que ambos critérios fossem satisfeitos e os valores encontrados.
A seguir resume-se para cada método como se iterou até que ambos critérios fossem satisfeitos e os valores encontrados.
Passo 2
Bissecção: em cada iteração
calculamos
e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde o sinal muda.
Implementando isso (por exemplo, em Python), obtivemos:
aproximação final ,
número de iterações ,
Implementando isso (por exemplo, em Python), obtivemos:
aproximação final
número de iterações
Passo 3
Posição Falsa (regula falsi): em cada iteração
atualizamos
ou
conforme o sinal de
.
Com código, encontramos:
aproximação final ,
número de iterações ,
Com código, encontramos:
aproximação final
número de iterações
Passo 4
Ponto fixo: usamos
escolhendo
.
Iteramos até
e
.
A iteração converge porque
em torno da raiz satisfaz .
Implementando, obtemos:
aproximação final ,
número de iterações ,
Iteramos
A iteração converge porque
em torno da raiz satisfaz
Implementando, obtemos:
aproximação final
número de iterações
Passo 5
Newton: com iteração
e
.
O método de Newton converge quadraticamente. Com código, achamos:
aproximação final ,
número de iterações ,
O método de Newton converge quadraticamente. Com código, achamos:
aproximação final
número de iterações
Passo 6
Secante: usando
com
,
.
Em torno de iterações bastaram. Registramos:
aproximação final ,
número de iterações ,
Em torno de
aproximação final
número de iterações
Resposta
Método Aproximação Iterações
Bissecção:
Posição Falsa:
Ponto Fixo:
Newton:
Secante:
Bissecção:
Posição Falsa:
Ponto Fixo:
Newton:
Secante: