Questão 1. Nas funções que seguem, implemente os métodos numéricos para achar uma raiz e analisar a velocidade de convergência e a precisão obtida para os critérios de parada
e
.
No método do ponto fixo, determine uma
e mostre como foi obtida, e no método de Newton, calcule a função de iteração do método. Determine aproximações iniciais para cada método e, para cada função, preencha uma tabela como a dada abaixo e descreva como cada informação da tabela foi obtida (pode ser o código utilizado).
Método
Bissecção
Posição Falsa
Ponto Fixo
Newton
Secante
Aproximação inicial
Número de iterações
No método do ponto fixo, determine uma
Método | Bissecção | Posição Falsa | Ponto Fixo | Newton | Secante |
Aproximação inicial | |||||
|
|||||
Número de iterações | |||||
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|||||
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Passo 1
Temos a função
e queremos aproximar a raiz real positiva que fica em
pelos cinco métodos: bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante. Os critérios de parada são
Para todos os métodos que exigem intervalo, escolhemos inicialmente
,
. Para ponto fixo, tomamos
; para Newton
; para secante
,
.
Passo 2
BISSECÇÃO
- Verificamos
, , logo há raiz em . - A cada iteração definimos
avaliamos
e substituímos o extremo cujo sinal coincide com
.
3. Mantemos o procedimento até
3. Mantemos o procedimento até
Em código Python (ou similar) foram feitas 17 iterações até
, com
Passo 3
POSIÇÃO FALSA (REGULA FALSI)
- Partimos de
, com , . - A cada iteração computamos
avaliamos
e atualizamos o extremo cujo valor de
tem sinal oposto a
.
3. O loop termina quando e
.
Aplicando isso, obtemos em 11 iterações , com
e
.
3. O loop termina quando
Aplicando isso, obtemos em 11 iterações
Passo 4
PONTO FIXO
- Reescrevemos
. Usamos a forma relaxada
com
.
2. Calculamos
2. Calculamos
onde
Em
, verifica-se
, garantindo convergência.
3. Iteramos
3. Iteramos
a partir de
até satisfazer os dois critérios.
O método levou 15 iterações para chegar em , com
e
.
O método levou 15 iterações para chegar em
Passo 5
NEWTON
- A iteração de Newton é
com
dado acima.
2. Partindo de , calculamos duas iterações:
2. Partindo de
-
, -
.
- Em
já se atinge e .
Passo 6
SECANTE
- A iteração secante é
- Com
, , geramos até e . - Obtivemos 5 iterações para chegar em
, com e .
Passo 7
Tabela resumo dos resultados:
Método | Bissecção | Posição Falsa | Ponto Fixo | Newton | Secante | ||
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Aprox. inicial |
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# iterações | 17 | 11 | 15 | 2 | 5 | ||
( | x_{k+1}-x_k | ) |
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( | f(\bar x) | ) |
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Resposta
Método | Bissecção | Posição Falsa | Ponto Fixo | Newton | Secante | ||
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Aprox. inicial |
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# iterações | 17 | 11 | 15 | 2 | 5 | ||
( | x_{k+1}-x_k | ) |
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( | f(\bar x) | ) |
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