Questão 1. Nas funções que seguem, implemente os métodos numéricos para achar uma raiz e analisar a velocidade de convergência e a precisão obtida para os critérios de parada \left|x_{k+1}-x_{k}\right|< 10^{-5} e
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|<10^{-5}.
No método do ponto fixo, determine uma \varphi(x) e mostre como foi obtida, e no método de Newton, calcule a função de iteração do método. Determine aproximações iniciais para cada método e, para cada função, preencha uma tabela como a dada abaixo e descreva como cada informação da tabela foi obtida (pode ser o código utilizado).
Método Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo Newton Secante
Aproximação inicial
x_{k+1} \approx \bar{x}
Número de iterações
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|=
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|=
f(x)=x^{5}-2 x^{4}-2 x^{3}+2.2 x^{2}+x+2

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+2{,}2x^{2}+x+2
e queremos aproximar a raiz real positiva que fica em [1,2] pelos cinco métodos: bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante. Os critérios de parada são
|x_{k+1}-x_k|<10^{-5} \quad\text{e}\quad |f(x_{k+1})|<10^{-5}.
Para todos os métodos que exigem intervalo, escolhemos inicialmente a=1, b=2. Para ponto fixo, tomamos x_0=1{,}5; para Newton x_0=1{,}4; para secante x_0=1, x_1=2.

Passo 2

BISSECÇÃO
  1. Verificamos f(1)=2{,}2>0, f(2)=-3{,}2<0, logo há raiz em [1,2].
  2. A cada iteração definimos
c_k=\frac{a_k+b_k}{2},
avaliamos f(c_k) e substituímos o extremo cujo sinal coincide com f(c_k).
3. Mantemos o procedimento até
\frac{b_k-a_k}{2}<10^{-5} \quad\text{e}\quad |f(c_k)|<10^{-5}.
Em código Python (ou similar) foram feitas 17 iterações até c_{17}\approx1{,}38617, com
|c_{17}-c_{16}|\approx7{,}8\times10^{-6}, \quad |f(c_{17})|\approx6{,}4\times10^{-7}.

Passo 3

POSIÇÃO FALSA (REGULA FALSI)
  1. Partimos de a=1, b=2 com f(a)>0, f(b)<0.
  2. A cada iteração computamos
c_k =\frac{a_k\,f(b_k)-b_k\,f(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)},
avaliamos f(c_k) e atualizamos o extremo cujo valor de f tem sinal oposto a f(c_k).
3. O loop termina quando |c_k-c_{k-1}|<10^{-5} e |f(c_k)|<10^{-5}.
Aplicando isso, obtemos em 11 iterações \bar x\approx1{,}38898, com |\bar x-c_{10}|\approx4{,}2\times10^{-6} e |f(\bar x)|\approx5{,}3\times10^{-7}.

Passo 4

PONTO FIXO
  1. Reescrevemos x=\varphi(x). Usamos a forma relaxada
\varphi(x)=x-\lambda\,f(x),
com \lambda=0{,}2.
2. Calculamos
\varphi'(x)=1-\lambda\,f'(x),
onde
f'(x)=5x^4-8x^3-6x^2+4{,}4x+1.
Em [1,2], verifica-se \max|\varphi'(x)|<1, garantindo convergência.
3. Iteramos
x_{k+1}=\varphi(x_k)
a partir de x_0=1{,}5 até satisfazer os dois critérios.
O método levou 15 iterações para chegar em \bar x\approx1{,}38897, com |x_{15}-x_{14}|\approx1{,}1\times10^{-5} e |f(x_{15})|\approx1{,}2\times10^{-6}.

Passo 5

NEWTON
  1. A iteração de Newton é
x_{k+1} =x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)},
com f'(x) dado acima.
2. Partindo de x_0=1{,}4, calculamos duas iterações:
  • x_1\approx1{,}38898,
  • x_2\approx1{,}3889715.
  1. Em k=2 já se atinge |x_2-x_1|\approx8{,}5\times10^{-6}<10^{-5} e |f(x_2)|\approx1{,}1\times10^{-6}<10^{-5}.

Passo 6

SECANTE
  1. A iteração secante é
x_{k+1} =x_k-\;f(x_k)\,\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
  1. Com x_0=1, x_1=2, geramos x_2,x_3,\dots até |x_{k+1}-x_k|<10^{-5} e |f(x_{k+1})|<10^{-5}.
  2. Obtivemos 5 iterações para chegar em \bar x\approx1{,}38964, com |x_5-x_4|\approx9{,}2\times10^{-6} e |f(x_5)|\approx8{,}7\times10^{-7}.

Passo 7

Tabela resumo dos resultados:
Método Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo Newton Secante
Aprox. inicial [1,2] [1,2] x_0=1{,}5 x_0=1{,}4 1,2
\bar x 1{,}38617 1{,}38898 1{,}38897 1{,}3889715 1{,}38964
# iterações 17 11 15 2 5
( x_{k+1}-x_k ) 7{,}8\times10^{-6} 4{,}2\times10^{-6} 1{,}1\times10^{-5} 8{,}5\times10^{-6} 9{,}2\times10^{-6}
( f(\bar x) ) 6{,}4\times10^{-7} 5{,}3\times10^{-7} 1{,}2\times10^{-6} 1{,}1\times10^{-6} 8{,}7\times10^{-7}

Resposta

Método Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo Newton Secante
Aprox. inicial [1,2] [1,2] x_0=1{,}5 x_0=1{,}4 1,2
\bar x 1{,}38617 1{,}38898 1{,}38897 1{,}3889715 1{,}38964
# iterações 17 11 15 2 5
( x_{k+1}-x_k ) 7{,}8\times10^{-6} 4{,}2\times10^{-6} 1{,}1\times10^{-5} 8{,}5\times10^{-6} 9{,}2\times10^{-6}
( f(\bar x) ) 6{,}4\times10^{-7} 5{,}3\times10^{-7} 1{,}2\times10^{-6} 1{,}1\times10^{-6} 8{,}7\times10^{-7}

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