Resolver
O sistema a seguir esta bem ou mal condicionado?
\left[\begin{array}{lll} 2 x+4 y+3 z & =5 \\\\ 5 x+6 y+5 z & =12 \\\\ 2 x+9 y+z & =10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se o sistema linear
\begin{cases} 2x + 4y + 3z = 5,\\\\ 5x + 6y + 5z = 12,\\\\ 2x + 9y + z = 10 \end{cases}
está bem ou mal condicionado. O conteúdo necessário é o conceito de número de condição de uma matriz A, definido por
\kappa(A) = \|A\|\;\|A^{-1}\|,
onde \|\cdot\| é uma norma de matriz (aqui usaremos a norma infinito).

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3\\\\ 5 & 6 & 5\\\\ 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}
e lembramos que a norma infinito de A é
\|A\|_\infty = \max_{1\le i\le3}\sum_{j=1}^3 |a_{ij}|.

Passo 3

Calculamos as somas das linhas de A:
linha 1: |2|+|4|+|3|=9,
linha 2: |5|+|6|+|5|=16,
linha 3: |2|+|9|+|1|=12.
Logo
\|A\|_\infty = 16.

Passo 4

Para achar A^{-1} usamos a fórmula \,A^{-1}=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Calcula-se \det(A)=41 e obtém-se
A^{-1} = \frac1{41} \begin{pmatrix} -39 & 23 & 2\\\\ 5 & -4 & 5\\\\ 33 & -10 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora a norma infinito de A^{-1} é
\|A^{-1}\|_\infty =\frac1{41}\max\bigl\{39+23+2,\;5+4+5,\;33+10+8\bigr\} =\frac{64}{41}\approx1,56.

Passo 6

O número de condição na norma infinito é
\kappa_\infty(A)=\|A\|_\infty\,\|A^{-1}\|_\infty \approx 16\times1,56 \approx 25.
Valores de \kappa(A) modestos (por exemplo menores que 10^2) indicam que o sistema é bem condicionado.

Resposta

O sistema está bem condicionado, com \kappa_\infty(A)\approx 25.

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