Questão 2. A matriz
A=(rrrr 16 & 4 & -4 & 0 4 & 2 & 0 & 1 -4 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 6 )
é simétrica e definida positiva. Calcule a decomposição Cholesky de A, det(A) e a terceira coluna de A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica e definida positiva
A = 16 & 4 & -4 & 0 4 & 2 & 0 & 1 -4 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 6
e pede (i) a decomposição de Cholesky A=LL^T, (ii) det(A) e (iii) a terceira coluna de A^-1. Para isso vamos usar a fatoração de Cholesky para obter L, então det(A)=(prodiLii)^2 e, por fim, resolver A x=e3 via L,y=e3 e L^T x=y para achar essa coluna.

Passo 2

Aplicando o método de Cholesky, escrevemos
L = l11&0&0&0 l21&l22&0&0 l31&l32&l33&0 l41&l42&l43&l44
e determinamos os elementos:
l11=raiz16=4, l21=44=1, l31=-44=-1, l41=0,
l22=raiz2-1^2=1, l32=0-(-1)cdot11=1, l42=1-0cdot11=1,
l33=raiz3-(-1)^2-1^2=1, l43=0-0cdot(-1)-1cdot11=-1,
l44=raiz6-0^2-1^2-(-1)^2=2
Logo
L = 4&0&0&0 1&1&0&0 -1&1&1&0 0&1&-1&2

Passo 3

Como det(A)=(prodi=1^4Lii)^2, temos
det(A)=(4cdot1cdot1cdot2)^2=8^2=64

Passo 4

Para obter a terceira coluna de A^-1 resolvemos A x=e3. Primeiro L,y=e3:
4y1=0, y1+y2=0, -,y1+y2+y3=1, y2-y3+2y4=0 Longrightarrow y=001tfrac12

Passo 5

Agora
que dá
Esse .

Resposta

L = 4 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 , det(A) = 64, terceira coluna de A^-1 = 1116 [6pt] -32 [6pt] 54 [6pt] 14 ]

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