(3.0) - A tensão em um ponto de uma estrutura é dada pela matriz de tensão \{\mathbf{A}\}. Sabendo que as tensões máximas e as direções em que elas ocorrem são dadas pelos autovalores e autovetores. Determine, portanto, as tensões máximas e suas direções.
(4.0) - Caso prefira (ao invés de resolver a segunda questão), aplique o método de Leverrier e encontre o polinômio característico \mathrm{P}(\lambda). Depois calcule o autovalor da matriz \{\mathbf{A}\} usando o polinômio encontrado. Para isso, use o método das cordas ou de Newton para o cálculo do zero da função. Considere o intervalo [1 ; 3]. Adote um erro de \varepsilon=0.01 e realize no máximo 2 iterações.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de tensões \mathbf{A} em um ponto
e pede as tensões principais (autovalores) e suas direções (autovetores). Vamos montar e resolver o problema de valor próprio \mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
As tensões principais são \sigma_1=7 na direção \mathbf{u}_1=(-2/\sqrt{5},\,1/\sqrt{5})
e \sigma_2=2 na direção \mathbf{u}_2=(1/\sqrt{5},\,2/\sqrt{5}).