(3.0) - A tensão em um ponto de uma estrutura é dada pela matriz de tensão \{\mathbf{A}\}. Sabendo que as tensões máximas e as direções em que elas ocorrem são dadas pelos autovalores e autovetores. Determine, portanto, as tensões máximas e suas direções.
A=\left[\begin{array}{rr} 6 & -2 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right]
(4.0) - Caso prefira (ao invés de resolver a segunda questão), aplique o método de Leverrier e encontre o polinômio característico \mathrm{P}(\lambda). Depois calcule o autovalor da matriz \{\mathbf{A}\} usando o polinômio encontrado. Para isso, use o método das cordas ou de Newton para o cálculo do zero da função. Considere o intervalo [1 ; 3]. Adote um erro de \varepsilon=0.01 e realize no máximo 2 iterações.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de tensões \mathbf{A} em um ponto
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}6 & -2\\\\ -2 & 3\end{pmatrix}
e pede as tensões principais (autovalores) e suas direções (autovetores). Vamos montar e resolver o problema de valor próprio \mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
\det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}) =\det\begin{pmatrix}6-\lambda & -2\\\\ -2 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(6-\lambda)(3-\lambda)-(-2)(-2)=0.

Passo 3

Expandindo e simplificando,
(6-\lambda)(3-\lambda)-4 =\lambda^2-9\lambda+18-4 =\lambda^2-9\lambda+14=0.
As raízes são
\lambda = \frac{9\pm\sqrt{81-56}}{2} =\frac{9\pm5}{2},
logo \lambda_1=7 e \lambda_2=2. Essas são as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2.

Passo 4

Para \lambda_1=7 resolvemos (\mathbf{A}-7\mathbf{I})\mathbf{v}_1=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}6-7 & -2\\\\ -2 & 3-7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x-2y\\\ -2x-4y\end{pmatrix} =\mathbf{0} \;\Rightarrow\; -x-2y=0\;\Rightarrow\;x=-2y.
Um autovetor conveniente é \mathbf{v}_1=(-2,1). A direção unitária fica
\mathbf{u}_1 =\frac{1}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}(-2,1) =\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{5}},\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 5

Para \lambda_2=2 resolvemos (\mathbf{A}-2\mathbf{I})\mathbf{v}_2=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}4 & -2\\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4x-2y\\\ -2x+y\end{pmatrix} =\mathbf{0} \;\Rightarrow\; 4x-2y=0\;\Rightarrow\;y=2x.
Um autovetor conveniente é \mathbf{v}_2=(1,2). A direção unitária fica
\mathbf{u}_2 =\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}(1,2) =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Resposta

As tensões principais são \sigma_1=7 na direção \mathbf{u}_1=(-2/\sqrt{5},\,1/\sqrt{5})
e \sigma_2=2 na direção \mathbf{u}_2=(1/\sqrt{5},\,2/\sqrt{5}).

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