Questão 4 ( 3,0 pontos) A fórmula de quadratura
\int_{-1}^{1} f(x) d x \approx w_{1} f(-1)+w_{2} f(0)+w_{3} f(1)
é exata para todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 .
a) Determine w_{1}, w_{2} e w_{3};
b) Use a fórmula (*) para calcular
\int_{-1}^{1}\left(2 x^{3}+x^{2}+x+1\right) d x .
O resultado é exato? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula de quadratura
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx \approx w_{1}f(-1) + w_{2}f(0) + w_{3}f(1)
exata para todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Precisamos determinar w_{1},w_{2},w_{3} impondo exatidão para f(x)=1, f(x)=x e f(x)=x^{2}, e em seguida usar a fórmula para aproximar
\int_{-1}^{1}\bigl(2x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)\,dx
e verificar se o resultado coincide com o valor exato.

Passo 2

Para f(x)=1 exige-se
w_{1} + w_{2} + w_{3} = \int_{-1}^{1}1\,dx = 2.
Para f(x)=x exige-se
-\,w_{1} + w_{3} = \int_{-1}^{1}x\,dx = 0 \quad\Longrightarrow\quad w_{3} = w_{1}.
Para f(x)=x^{2} exige-se
w_{1} + w_{3} = \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2w_{1} = \tfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; w_{1} = \tfrac{1}{3}.
Logo w_{3} = \tfrac{1}{3} e
w_{2} = 2 - w_{1} - w_{3} = 2 - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula a f(x)=2x^{3}+x^{2}+x+1, temos
f(-1) = -1,\quad f(0)=1,\quad f(1)=5,
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w_{1}f(-1)+w_{2}f(0)+w_{3}f(1) = \tfrac{1}{3}(-1) + \tfrac{4}{3}(1) + \tfrac{1}{3}(5) = \tfrac{8}{3}.
O valor exato da integral é
\int_{-1}^{1}(2x^{3}+x^{2}+x+1)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{4}}{2} + \tfrac{x^{3}}{3} + \tfrac{x^{2}}{2} + x\Bigr]_{-1}^{1} = \tfrac{8}{3}.
Como o termo ímpar em x^{3} e em x integra zero por simetria e a quadratura é exata para termos de grau até 2, a aproximação coincide com o valor exato.

Resposta

a) w_{1}=\tfrac{1}{3}, w_{2}=\tfrac{4}{3}, w_{3}=\tfrac{1}{3}.
b) A fórmula dá \tfrac{8}{3}, que é exatamente o valor da integral, logo o resultado é exato.

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