Questão 4 ( 3,0 pontos) A fórmula de quadratura
é exata para todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 .
a) Determine
e
;
b) Use a fórmula (*) para calcular
O resultado é exato? Justifique.
a) Determine
b) Use a fórmula (*) para calcular
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula de quadratura
exata para todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Precisamos determinar
impondo exatidão para
,
e
, e em seguida usar a fórmula para aproximar
e verificar se o resultado coincide com o valor exato.
Passo 2
Para
exige-se
Para
exige-se
Para
exige-se
Logo
e
Passo 3
Aplicando a fórmula a
, temos
logo
O valor exato da integral é
Como o termo ímpar em
e em
integra zero por simetria e a quadratura é exata para termos de grau até 2, a aproximação coincide com o valor exato.
Resposta
a)
,
,
.
b) A fórmula dá , que é exatamente o valor da integral, logo o resultado é exato.
b) A fórmula dá