Usando a regra composta dos trapezios (h=1). Calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro (n=4)
I=\int_{1}^{5}\left(x^{2}+74 x+8\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{5}\bigl(x^{2}+74x+8\bigr)\,dx
usando a regra composta dos trapézios com n=4 subintervalos e passo h=1, e depois comparar com o valor exato para determinar o erro. O conteúdo aqui é regra composta de integração numérica e integração de polinômios.

Passo 2

Aplicamos a regra composta dos trapézios, cuja fórmula é
T_{n} = h\Bigl(\tfrac{1}{2}f(x_{0}) + f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots + f(x_{n-1}) + \tfrac{1}{2}f(x_{n})\Bigr),
com x_{i} = 1 + i\cdot h e h=1. Calculamos primeiro os valores de f(x)=x^{2}+74x+8:
\begin{aligned} f(1)&=1+74+8=83,\\\ f(2)&=4+148+8=160,\\\ f(3)&=9+222+8=239,\\\ f(4)&=16+296+8=320,\\\ f(5)&=25+370+8=403. \end{aligned}

Passo 3

Agora montamos a soma segundo a fórmula:
T_{4} =1\Bigl(\tfrac{1}{2}\cdot83 + 160 + 239 + 320 + \tfrac{1}{2}\cdot403\Bigr) =\tfrac{83+403}{2} + (160+239+320) =243 + 719 =962.

Passo 4

Para o valor exato, integramos o polinômio:
\int (x^{2}+74x+8)\,dx =\tfrac{x^{3}}{3} + 37x^{2} + 8x + C.
Avaliaremos de 1 a 5:
F(5)=\tfrac{125}{3} + 37\cdot25 + 8\cdot5 = \tfrac{125}{3} + 925 + 40 = \tfrac{3020}{3},
F(1)=\tfrac{1}{3} + 37 + 8 = \tfrac{136}{3},
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I = F(5) - F(1) = \frac{3020}{3} - \frac{136}{3} = \frac{2884}{3}\approx 961{,}3333.

Passo 5

O erro absoluto é
\bigl|T_{4} - I\bigr| =\Bigl|962 - \frac{2884}{3}\Bigr| =\frac{2}{3}\approx0{,}6667.

Resposta

Aproximação (trapézios): 962
Valor exato: \displaystyle \frac{2884}{3}
Erro absoluto: \displaystyle \frac{2}{3}\approx0{,}6667

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