QUESTÃO 3 (3,0 pontos)

Dada a função f(x)=\frac{x^{4}}{2}.
a) Utilize o Método Interpolador das Diferenças Finitas Ascendentes para determinar P_{2}(0,1) a partir dos valores de f(0,0), f(0,2) e f(0,4). ( 2,0 pontos).
b) Estime o erro de truncamento máximo cometido no ponto x=0,1 (1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá f(x)=\tfrac{x^4}{2} e pede o polinômio interpolador de grau 2 pelo método das diferenças finitas ascendentes em nós igualmente espaçados de passo h, com
x_0=0,\quad x_1=0,2,\quad x_2=0,4,
para estimar
P_2(0,1).
Depois, pede a estimativa do erro de truncamento em x=0,1. Vamos usar o polinômio de Newton–Forward e a fórmula do resto de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os valores de f e as diferenças finitas:
f(x_0)=f(0)=\frac{0^4}{2}=0,\quad f(x_1)=f(0,2)=\frac{(0,2)^4}{2}=0,0008,\quad f(x_2)=f(0,4)=\frac{(0,4)^4}{2}=0,0128.
As diferenças são
\Delta f_0 = f(x_1)-f(x_0)=0,0008, \quad \Delta f_1 = f(x_2)-f(x_1)=0,0120,
\Delta^2 f_0 = \Delta f_1 - \Delta f_0 = 0,0120 - 0,0008 = 0,0112.

Passo 3

O polinômio de Newton–Forward de grau 2 é
P_2(x) = f(x_0) + \frac{\Delta f_0}{h}\,x + \frac{\Delta^2 f_0}{2\,h^2}\,x\,(x-h),
com h=0,2. Avaliando em x=0,1:
P_2(0,1) = 0 + \frac{0,0008}{0,2}\cdot0,1 + \frac{0,0112}{2\,(0,2)^2}\cdot0,1\,(0,1-0,2)
=\;0,004\cdot0,1 \;+\;\frac{0,0112}{0,08}\cdot0,1\cdot(-0,1) =\;0,0004 \;-\;0,0014 =\;-\,0,0010.

Passo 4

Para o erro usamos a forma do resto de Lagrange para grau 2: existe \xi\in[0,4] tal que
R_2(0,1) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(0,1-0)\,(0,1-0,2)\,(0,1-0,4).
Como f^{(3)}(x)=12x, em [0,4] temos \lvert f^{(3)}(x)\rvert\le12\cdot0,4=4,8. Logo
\lvert R_2(0,1)\rvert \le \frac{4,8}{6}\,\bigl|0,1\cdot(-0,1)\cdot(-0,3)\bigr| =0,8\cdot0,003 =0,0024.

Resposta

(a) P_{2}(0,1)=-0,0010.
(b) \lvert R_{2}(0,1)\rvert\le0,0024.

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