Questão 5 - (Probabilidade) A função densidade de probabilidade do tempo de falha (X) de uma máquina é dada por
onde
é o tempo médio, em horas, entre falhas.
A probabilidade da máquina vir a falhar no intervalo de
horas de uso e depois de
horas de uso são obtidas, respectivamente, pelas integrais abaixo
Sabendo que que o tempo médio entre falhas é de
horas (ou seja, uma falha a cada 200 horas de uso), responda as perguntas a seguir usando a segunda regra de Simpson com passo de integração
horas. Qual a probabilidade da máquina falhar:
no intervalo de 45 a 135 horas de uso, ou seja,
?
no intervalo de 45 a 135 horas de uso, ou seja,
Passo 1
O enunciado dá a função densidade do tempo de falha
:
com
horas. Pede-se a probabilidade da máquina falhar no intervalo de
a
horas, isto é calcular
Também é dado que devemos usar a segunda regra de Simpson (regra composta de Simpson) com passo de integração
horas. Aqui estão os dados relevantes listados:
- Função a integrar:
- Intervalo de integração:
- Passo:
- Objetivo: aproximar
usando Simpson composta com .
Passo 2
Explicando a regra composta de Simpson (segundo Simpson) de forma didática. Se quisermos aproximar
usando passo
e
subintervalos (com
par), definimos os nós
A fórmula de Simpson composta é
O que cada coisa significa:
-
é o comprimento de cada subintervalo. -
é o número total de subintervalos; Simpson exige par. - Os termos com coeficiente
são as avaliações em nós de índice ímpar; os de coeficiente são em índices pares (exceto as extremidades).
Essa regra combina aproximações quadráticas em pares de subintervalos e costuma ser bem precisa para funções suaves como exponenciais.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: o comprimento total do intervalo é
. Com
temos
que é par (bom, pode usar Simpson). Os nós são:
Passo 4
Agora vamos calcular
em cada nó. Vou mostrar o cálculo de
e então dividir por
. Para facilitar, primeiro calculo
e
:
Agora cada
:
Observação rápida: arredondei os valores de
com precisão suficiente para a nossa aproximação.
Passo 5
Agora aplico a fórmula composta de Simpson. Primeiro somas necessárias:
- Soma das avaliações nas extremidades:
- Soma dos nós de índice ímpar (
):
- Soma dos nós de índice par internos (
):
Agora formo o somatório na fórmula:
Calculo cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Finalmente multiplico por
. Como
,
Logo a aproximação por Simpson é
Arredondando de forma razoável (5 casas decimais) obtemos
.
Pequena verificação (aula rápida): como a função é exponencial, a integral tem solução exata
que é muito próximo do resultado pelo Simpson, então nossa aproximação está bem consistente — bom sinal!