Questão 5 - (Probabilidade) A função densidade de probabilidade do tempo de falha (X) de uma máquina é dada por
f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}, \quad x \geq 0onde \mu é o tempo médio, em horas, entre falhas.
A probabilidade da máquina vir a falhar no intervalo de [\mathrm{a}, \mathrm{b}] horas de uso e depois de k horas de uso são obtidas, respectivamente, pelas integrais abaixo
\begin{aligned} & P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) d x \\\ & P(X>k)=1-\int_{0}^{k} f(x) d x \end{aligned}
Sabendo que que o tempo médio entre falhas é de \mu=200 horas (ou seja, uma falha a cada 200 horas de uso), responda as perguntas a seguir usando a segunda regra de Simpson com passo de integração h=15 horas. Qual a probabilidade da máquina falhar:
no intervalo de 45 a 135 horas de uso, ou seja, \mathrm{P}(45 \leq \mathrm{X} \leq 135)=\int_{45}^{135} f(x) d x ?

Passo 1

O enunciado dá a função densidade do tempo de falha X:
f(x)=\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}},\quad x\ge 0,
com \mu=200 horas. Pede-se a probabilidade da máquina falhar no intervalo de 45 a 135 horas, isto é calcular
P(45\le X\le 135)=\int_{45}^{135} f(x)\,dx.
Também é dado que devemos usar a segunda regra de Simpson (regra composta de Simpson) com passo de integração h=15 horas. Aqui estão os dados relevantes listados:
  • Função a integrar: \displaystyle f(x)=\frac{1}{200}e^{-x/200}.
  • Intervalo de integração: \displaystyle [a,b]=[45,135].
  • Passo: \displaystyle h=15.
  • Objetivo: aproximar \displaystyle \int_{45}^{135} f(x)\,dx usando Simpson composta com h=15.

Passo 2

Explicando a regra composta de Simpson (segundo Simpson) de forma didática. Se quisermos aproximar \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx usando passo \displaystyle h e n subintervalos (com n par), definimos os nós
x_0=a,\; x_1=a+h,\; x_2=a+2h,\;\dots,\; x_n=b.
A fórmula de Simpson composta é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{j=1,\,j\\ \text{ímpar}}^{n-1} f(x_j)+2\sum_{j=2,\,j\\ \text{par}}^{n-2} f(x_j)\Big).í
O que cada coisa significa:
  • h é o comprimento de cada subintervalo.
  • n é o número total de subintervalos; Simpson exige n par.
  • Os termos com coeficiente 4 são as avaliações em nós de índice ímpar; os de coeficiente 2 são em índices pares (exceto as extremidades).
    Essa regra combina aproximações quadráticas em pares de subintervalos e costuma ser bem precisa para funções suaves como exponenciais.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o comprimento total do intervalo é b-a=135-45=90. Com h=15 temos
n=\frac{b-a}{h}=\frac{90}{15}=6,
que é par (bom, pode usar Simpson). Os nós são:
\begin{aligned} x_0&=45,\\\ x_1&=60,\\\ x_2&=75,\\\ x_3&=90,\\\ x_4&=105,\\\ x_5&=120,\\\ x_6&=135. \end{aligned}

Passo 4

Agora vamos calcular f(x_j)=\dfrac{1}{200}e^{-x_j/200} em cada nó. Vou mostrar o cálculo de e^{-x/200} e então dividir por 200. Para facilitar, primeiro calculo x_j/200 e e^{-x_j/200}:
\begin{aligned} x_0/200&=45/200=0,225,\quad &e^{-0,225}&\approx 0,798516,\\\ x_1/200&=60/200=0,3,\quad &e^{-0,3}&\approx 0,740818,\\\ x_2/200&=75/200=0,375,\quad &e^{-0,375}&\approx 0,687289,\\\ x_3/200&=90/200=0,45,\quad &e^{-0,45}&\approx 0,637628,\\\ x_4/200&=105/200=0,525,\quad &e^{-0,525}&\approx 0,591555,\\\ x_5/200&=120/200=0,6,\quad &e^{-0,6}&\approx 0,548812,\\\ x_6/200&=135/200=0,675,\quad &e^{-0,675}&\approx 0,509153. \end{aligned}
Agora cada f(x_j)=\dfrac{1}{200}e^{-x_j/200}:
\begin{aligned} f_0&=f(45)=\frac{1}{200}\cdot 0,798516\approx 0,003992582,\\\ f_1&=f(60)=\frac{1}{200}\cdot 0,740818\approx 0,003704091,\\\ f_2&=f(75)=\frac{1}{200}\cdot 0,687289\approx 0,003436446,\\\ f_3&=f(90)=\frac{1}{200}\cdot 0,637628\approx 0,003188141,\\\ f_4&=f(105)=\frac{1}{200}\cdot 0,591555\approx 0,002957778,\\\ f_5&=f(120)=\frac{1}{200}\cdot 0,548812\approx 0,002744058,\\\ f_6&=f(135)=\frac{1}{200}\cdot 0,509153\approx 0,002545766. \end{aligned}
Observação rápida: arredondei os valores de e^{-x/200} com precisão suficiente para a nossa aproximação.

Passo 5

Agora aplico a fórmula composta de Simpson. Primeiro somas necessárias:
  • Soma das avaliações nas extremidades:
f_0+f_6\approx 0,003992582+0,002545766=0,006538348.
  • Soma dos nós de índice ímpar ( j=1,3,5):
f_1+f_3+f_5\approx 0,003704091+0,003188141+0,002744058=0,009636290.
  • Soma dos nós de índice par internos ( j=2,4):
f_2+f_4\approx 0,003436446+0,002957778=0,006394224.
Agora formo o somatório na fórmula:
f_0+f_6 + 4\sum_{\text{ímpar}} f_j + 2\sum_{\text{par}} f_j \approx 0,006538348 + 4\cdot 0,009636290 + 2\cdot 0,006394224.í
Calculo cada termo:
4\cdot 0,009636290 \approx 0,038545160,
2\cdot 0,006394224 \approx 0,012788448.
Somando tudo:
0,006538348 + 0,038545160 + 0,012788448 \approx 0,057871956.

Passo 6

Finalmente multiplico por h/3. Como h=15,
\frac{h}{3}=\frac{15}{3}=5.
Logo a aproximação por Simpson é
\int_{45}^{135} f(x)\,dx \approx 5\cdot 0,057871956 \approx 0,28935978.
Arredondando de forma razoável (5 casas decimais) obtemos \approx 0,28936.
Pequena verificação (aula rápida): como a função é exponencial, a integral tem solução exata
\int_{45}^{135}\frac{1}{200}e^{-x/200}dx=e^{-45/200}-e^{-135/200}\approx 0,798516-0,509153=0,289363,
que é muito próximo do resultado pelo Simpson, então nossa aproximação está bem consistente — bom sinal!

Resposta

0,28936

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