Para as três questões abaixo, faça a decomposição L U com pivotação parcial da matriz do sistema linear A x=b :
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 10 \\ 20 \\ 30 \\ 40 \end{array}\right]
Qual o menor autovalor de U^{-1} ?
O-0,3636
\bigcirc-1,0000
\bigcirc-0,5714
\bigcirc-1,3333
O0,2500

Passo 1

O enunciado pede a decomposição PA=LU com pivotação parcial e, em seguida, o menor autovalor de U^{-1}. Como U é triangular superior, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal principal e, portanto, os autovalores de U^{-1} são os inversos dessas entradas.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss com pivotação parcial em
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 5 & -3 \\\\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{pmatrix},
obtemos (após as trocas de linha e eliminações)
U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 5 & -\tfrac{5}{2} \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{3}{4} & \tfrac{5}{8} \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{17}{6} \end{pmatrix}.
Logo os autovalores de U são
\{\,4,\;2,\;-\,\tfrac{3}{4},\;\tfrac{17}{6}\}.

Passo 3

Os autovalores de U^{-1} são os recíprocos:
\sigma(U^{-1}) = \Bigl\{\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{4}{3},\;\tfrac{6}{17}\Bigr\} \approx \{0,25,\;0,5,\;-1,3333,\;0,3529\}.

Passo 4

Dentre esses, o menor (mais negativo) é
-\tfrac{4}{3}\approx -1,3333.

Resposta

-1,3333

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