Questão 4: Use Euler e Euler Aperfeiçoado, com vários valores de h, para calcular y (2) para o seguinte PVI:
l y^prime=cos x+1 y(0)=-1

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem o PVI
y' = cos x + 1, y(0) = -1,
e quer calcular usando dois esquemas numéricos: o método de Euler explícito e o método de Euler aperfeiçoado (Heun), variando o passo .
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias e métodos de passo único.
O que vamos precisar:
  • A fórmula de Euler:
    .
  • A fórmula de Euler aperfeiçoado (Heun):
  • A função .
  • Iterar até .

Passo 2

Método de Euler explícito
  1. Fórmula: yn+1 = yn + h,l(cos xn + 1r)
  2. Começando em , damos passos até .
  3. Exemplos numéricos e resultados finais:
    • Para (2 passos):
      passo 1: ;
      passo 2: .
      .
    • Para (4 passos):
      iterando igual ao exemplo anterior dá
      .
    • Para (8 passos):
      iterando dá
      .

Passo 3

Método de Euler aperfeiçoado (Heun)
  1. Fórmula: k1 &= f(xn,yn) = cos xn + 1, y^* &= yn + h,k1, k2 &= fl(xn+1,y^*r)=cos(xn+h)+1, yn+1 &= yn + tfrach2(k1+k2)
  2. Mesma inicialização, iteramos até .
  3. Resultados finais:
    • Para (2 passos):
      .
    • Para (4 passos):
      .
    • Para (8 passos):
      .

Resposta

A seguir o resumo das aproximações de :
Método
Euler explícito 2.5403 2.2444 2.0816
Euler aperfeiçoado 2.2484 2.0984 2.0085
Para comparação, a solução exata é
,
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