Questão 4: Use Euler e Euler Aperfeiçoado, com vários valores de h, para calcular
(2) para o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem o PVI
e quer calcular
usando dois esquemas numéricos: o método de Euler explícito e o método de Euler aperfeiçoado (Heun), variando o passo
.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias e métodos de passo único.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias e métodos de passo único.
O que vamos precisar:
- A fórmula de Euler:
. - A fórmula de Euler aperfeiçoado (Heun):
- A função
. - Iterar até
.
Passo 2
Método de Euler explícito
- Fórmula:
- Começando em
, damos passos até . - Exemplos numéricos e resultados finais:
- Para
(2 passos):
passo 1:;
passo 2:.
→. - Para
(4 passos):
iterando igual ao exemplo anterior dá
. - Para
(8 passos):
iterando dá
.
- Para
Passo 3
Método de Euler aperfeiçoado (Heun)
- Fórmula:
- Mesma inicialização, iteramos até
. - Resultados finais:
- Para
(2 passos):
→. - Para
(4 passos):
→. - Para
(8 passos):
→.
- Para
Resposta
A seguir o resumo das aproximações de
:
Método |
|
|
|
---|---|---|---|
Euler explícito | 2.5403 | 2.2444 | 2.0816 |
Euler aperfeiçoado | 2.2484 | 2.0984 | 2.0085 |
Para comparação, a solução exata é
,
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