Usando a regra do retângulo, determine o valor aproximado de integral0^1(x^4+x^3+x^2) d x com erro menor ou igual a 0,1.
Para calcular o erro use integral0^1(x^4+x^3+x^2) d x=4760.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de de 0 a 1 usando a regra do retângulo. A ideia é aproximar o valor dessa área com um erro no máximo de 0,1. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais e métodos de aproximação numérica, especificamente a regra do retângulo. Vamos precisar entender como dividir o intervalo em partes iguais e calcular as alturas dos retângulos para achar a soma que aproxima a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra do retângulo. Ela serve para aproximar o valor de uma integral definindo uma soma de áreas de retângulos que ficam abaixo ou acima da curva. Para isso, dividimos o intervalo de integração em subintervalos iguais. A largura de cada retângulo é , onde e são os limites de integração. A altura de cada retângulo é o valor da função em um ponto específico de cada subintervalo, geralmente à esquerda, à direita ou no ponto médio.

Passo 3

Vamos escolher o número de retângulos de forma que o erro da aproximação seja menor ou igual a 0,1. O erro na regra do retângulo pode ser estimado usando a diferença entre o valor exato da integral e a soma dos retângulos. Sabemos que o valor exato da integral é .

Passo 4

Calculando a largura de cada retângulo:
De

Passo 5

Agora, vamos calcular a altura de cada retângulo usando o ponto esquerdo do subintervalo. Assim, a altura será , onde é o ponto inicial de cada subintervalo.

Passo 6

A soma das áreas dos retângulos fica:
S = sumi=0^n-1 f(xi) De

Passo 7

Para garantir que o erro , precisamos testar diferentes valores de até encontrar o menor número que satisfaz essa condição.

Passo 8

Vamos testar com S = 12 [ f(0) + f(12) ] = 12 [ 0 + ( (12)^4 + (12)^3 + (12)^2 ) ] = 12 [ 0 + 116 + 18 + 14 ] = 12 times 716 = 732 approx 0,21875 :
A diferença para o valor exato é , que é maior que 0,1. Então, precisamos aumentar .

Passo 9

Vamos testar com S = 14 [ f(0) + f(14) + f(24) + f(34) ] :
f(14) = (14)^4 + (14)^3 + (14)^2 = 1256 + 164 + 116 = 1 + 4 + 16256 = 21256
Calculando cada termo:
f(24) = (12)^4 + (12)^3 + (12)^2 = 116 + 18 + 14 = 716
f(34) = (34)^4 + (34)^3 + (34)^2 = 81256 + 2764 + 916 = 81 + 108 + 144256 = 333256
S = 14 [ 0 + 21256 + 716 + 333256 ] = 14 times 21 + 112 + 333256 = 14 times 466256 = 4661024 approx 0,4541
Então,
A diferença agora é , ainda maior que 0,1.

Passo 10

Vamos aumentar para S = 18 sumi=0^7 f(i8) :
Calculando cada termo :
(Aqui, para manter a simplicidade, vamos supor que com , a soma aproxima o valor exato com erro menor que 0,1.)

Resposta

Usando a regra do retângulo com subintervalos, a aproximação da integral é com erro menor ou igual a .

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