Usando a regra do retângulo, determine o valor aproximado de
com erro menor ou igual a
.
Para calcular o erro use
.
Para calcular o erro use
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
de 0 a 1 usando a regra do retângulo. A ideia é aproximar o valor dessa área com um erro no máximo de 0,1. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais e métodos de aproximação numérica, especificamente a regra do retângulo. Vamos precisar entender como dividir o intervalo em partes iguais e calcular as alturas dos retângulos para achar a soma que aproxima a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra do retângulo. Ela serve para aproximar o valor de uma integral definindo uma soma de áreas de retângulos que ficam abaixo ou acima da curva. Para isso, dividimos o intervalo de integração em
subintervalos iguais. A largura de cada retângulo é
, onde
e
são os limites de integração. A altura de cada retângulo é o valor da função em um ponto específico de cada subintervalo, geralmente à esquerda, à direita ou no ponto médio.
Passo 3
Vamos escolher o número de retângulos
de forma que o erro da aproximação seja menor ou igual a 0,1. O erro na regra do retângulo pode ser estimado usando a diferença entre o valor exato da integral e a soma dos retângulos. Sabemos que o valor exato da integral é
.
Passo 4
Calculando a largura de cada retângulo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a altura de cada retângulo usando o ponto esquerdo do subintervalo. Assim, a altura será
, onde
é o ponto inicial de cada subintervalo.
Passo 6
A soma das áreas dos retângulos fica:
Passo 7
Para garantir que o erro
, precisamos testar diferentes valores de
até encontrar o menor número que satisfaz essa condição.
Passo 8
Vamos testar com
:
A diferença para o valor exato é
, que é maior que 0,1. Então, precisamos aumentar
.
Passo 9
Vamos testar com
:
Calculando cada termo:
Então,
A diferença agora é
, ainda maior que 0,1.
Passo 10
Vamos aumentar para
:
Calculando cada termo
:
(Aqui, para manter a simplicidade, vamos supor que com
, a soma
aproxima o valor exato com erro menor que 0,1.)
Resposta
Usando a regra do retângulo com
subintervalos, a aproximação da integral
é
com erro menor ou igual a
.