Questão 3 - Utilizando o método de eliminação de Gauss, resolva os sistemas lineares a seguir.
l2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2-2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12

Passo 1

Beleza, a questão pede para resolver o sistema
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7, x1 - x2 - 2x3 - x4 = 1, 3x1 + 2x2 - 3x3 - 2x4 = 4, 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12
O conteúdo é Sistemas Lineares e vamos usar o Método de Eliminação de Gauss: montar a matriz aumentada, eliminar incógnitas linha a linha e depois voltar substituindo (back‐substitution).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 1 & -1 & -2 & -1 & 1 3 & 2 & -3 & -2 & 4 4 & 3 & 2 & 1 & 12 ]
Teoria rápida: cada linha é uma equação, cada coluna uma variável. Vamos usar pivôs (elementos não nulos na diagonal) para zerar tudo abaixo dele, coluna a coluna.

Passo 3

Eliminação de x1 nas linhas 2, 3 e 4 usando o pivô da linha 1 (que é 2):
  • L2 ← L2 − (1/2)·L1
  • L3 ← L3 − (3/2)·L1
  • L4 ← L4 − 2·L1
Fica:
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & -2.5 & -1.5 & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & -2 ]

Passo 4

Agora o pivô é -2 na posição (2,2). Zeramos abaixo:
  • L3 ← L3 − tfrac-1-2,L2 = L3 − 0.5·L2
  • L4 ← L4 − 0.5·L2
Resultado:
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & -2.5 & -1.5 & -2.5 0 & 0 & -3.25 & -2.75 & -5.25 0 & 0 & 1.25 & -0.25 & -0.75 ]

Passo 5

Próximo pivô é -3.25 em (3,3). Eliminamos só a linha 4:
  • L4 ← L4 − (1.25/−3.25)·L3 = L4 + (5/13)·L3
Ficamos com
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 0 & -2 & -2.5 & -1.5 & -2.5 0 & 0 & -3.25 & -2.75 & -5.25 0 & 0 & 0 & -tfrac1713 & -tfrac3613 ]

Passo 6

Agora é back‐substitution:
  1. Da última linha: -tfrac1713x4 = -tfrac3613implies x4 = tfrac3617
  2. Linha 3: -3.25,x3 -2.75,x4 = -5.25implies -tfrac134x3 - tfrac114cdottfrac3617 = -tfrac214implies x3 = -tfrac317
  3. Linha 2: -2x2 -2.5,x3 -1.5,x4 = -2.5implies x2 = -tfrac217
  4. Linha 1: 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7implies x1 = tfrac4517

Resposta

boxedx1 = tfrac4517, x2 = -tfrac217, x3 = -tfrac317, x4 = tfrac3617

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