1^{\text {a }} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais. (Cada item vale 1 ponto).
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen}^{3}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de \sin^{3}(x)\cos(x) de 0 a \pi/3.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois vemos \sin(x) e seu derivado \cos(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(x),\quad du = \cos(x)\,dx.
Quando x=0, u=\sin(0)=0.
Quando x=\pi/3, u=\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2.
Assim, a integral original vira
\int_{0}^{\pi/3}\sin^{3}(x)\cos(x)\,dx = \int_{0}^{\sqrt{3}/2}u^{3}\,du.

Passo 3

Integramos u^{3} usando a regra de potência:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Logo, avaliando de 0 a \sqrt{3}/2, temos
\left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{4} - 0.

Passo 4

Calculamos
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{4} = \frac{(\sqrt{3})^{4}}{2^{4}} = \frac{9}{16}.
Dividindo por 4, obtemos
\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{64}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{64}

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