Realize o estudo dos sinais das funções, abaixo.
r(x)=raiz3(x+12)-3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente fazer o estudo de sinais da função
r(x) = raiz3(x+12) ;-; 3
Conteúdo envolvido:
  • Noções de domínio de função com radicais (raiz quadrada só existe pra coisa ≥ 0).
  • Resolver inequações envolvendo raiz quadrada.
    O que vamos precisar:
  1. Determinar o domínio da função.
  2. Achar onde .
  3. Testar sinais em cada pedaço do domínio.

Passo 2

Primeiro, o domínio. Como tem raiz quadrada 3(x+12) ;>=; 0 ;;Longrightarrow;; x+12 ;>=; 0 ;;Longrightarrow;; x ;>=; -12 , o radicando precisa ser ≥ 0:
Então domínio é .

Passo 3

Agora, pra achar onde raiz3(x+12) ;-; 3 ;=; 0 ;Longrightarrow; raiz3(x+12) = 3 , a gente resolve
3(x+12) = 3^2 = 9 ;Longrightarrow; x+12 = 3 ;Longrightarrow; x = -9
Como a raiz quadrada sempre dá resultado não negativo, podemos elevar ao quadrado sem medo:
E está no domínio , então é um zero legítimo.

Passo 4

Para decidir onde r(-12) = raiz3( -12+12 ) - 3 = raiz0-3 = -3 < 0 é positiva ou negativa, dividimos o domínio em dois intervalos usando o ponto crítico r(0) = raiz3(0+12) - 3 = raiz36-3 = 6-3 = 3 > 0 :
  1. Intervalo :
    Escolhe (ou qualquer valor entre -12 e -9):
    Então em a função é negativa.
  2. Intervalo :
    Escolhe (ou qualquer valor > -9):
    Logo, em a função é positiva.

Resposta

Domínio: .
Sinal de :
  • em .
  • em .
  • em .

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