Seja
, escreva o domínio e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: temos a função
e a gente precisa encontrar o domínio e a imagem dessa função. Isso é praticamente Análise de Funções (funções racionais), e o que vai rolar aqui é:
- Primeiro descobrir onde o denominador dá problema (domínio).
- Depois analisar quais valores a função assume (imagem), usando noções de limite e Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Vamos achar o domínio.
- Uma função racional só não está definida quando o denominador é zero.
- Aqui o denominador é
- Então basta resolver
, o que dá . - Conclusão: a função existe para todo
real, menos .
Passo 3
Agora a imagem. A ideia é ver quais valores de
a função consegue assumir quando
varia no domínio. Vamos usar limites e o Teorema do Valor Intermediário:
- Primeiro, analisa o comportamento quando
: - Para grandes
, e . - Então
- Como
é sempre positivo e cresce para tanto para quanto para , temos
- Para grandes
- Agora vê o que acontece perto de
(ponto excluído): - Se
, o denominador e o numerador . Logo - Se
, o denominador e o numerador continua positivo, então
- Se
- Com isso, no intervalo
a função vai de até de forma contínua. Pelo Teorema do Valor Intermediário, ela passa por todo valor real. - No intervalo
a função sai de (quando ) e volta para (quando ), mas isso nem precisa afetar a imagem total, já que a parte da esquerda já cobre toda .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: