Seja l(x)=x^7+4(x-3)+(x+2), escreva o domínio e a imagem de l(x).

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: temos a função
l(x) = x^7 + 4(x - 3) + (x + 2)
e a gente precisa encontrar o domínio e a imagem dessa função. Isso é praticamente Análise de Funções (funções racionais), e o que vai rolar aqui é:
  • Primeiro descobrir onde o denominador dá problema (domínio).
  • Depois analisar quais valores a função assume (imagem), usando noções de limite e Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Vamos achar o domínio.
  1. Uma função racional só não está definida quando o denominador é zero.
  2. Aqui o denominador é
(x - 3) + (x + 2) = 2x - 1
  1. Então basta resolver , o que dá .
  2. Conclusão: a função existe para todo real, menos .

Passo 3

Agora a imagem. A ideia é ver quais valores de l(x)simx^72x=x^62 a função consegue assumir quando limxtopminfty l(x) = +infty varia no domínio. Vamos usar limites e o Teorema do Valor Intermediário:
  1. Primeiro, analisa o comportamento quando l(x)to -infty :
    • Para grandes l(x)to +infty , e .
    • Então
    • Como é sempre positivo e cresce para tanto para quanto para , temos
  2. Agora vê o que acontece perto de (ponto excluído):
    • Se , o denominador e o numerador . Logo
    • Se , o denominador e o numerador continua positivo, então
  3. Com isso, no intervalo a função vai de até de forma contínua. Pelo Teorema do Valor Intermediário, ela passa por todo valor real.
  4. No intervalo a função sai de (quando ) e volta para (quando ), mas isso nem precisa afetar a imagem total, já que a parte da esquerda já cobre toda .

Resposta

Domínio:
Imagem:

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