Reescreva as equações nas formas f(x)=0 e f(x)=x :
(a)
\frac{x^{2}+1}{x+1}=\frac{e^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a equação
\frac{x^{2}+1}{x+1}=\frac{e^{x}-1}{x}
nas formas f(x)=0 e f(x)=x. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação original é \dfrac{x^{2}+1}{x+1}=\dfrac{e^{x}-1}{x}.
  • Devemos lembrar que as expressões têm denominadores, portanto x\neq -1 e x\neq 0 são restrições de domínio que vêm da própria equação original (não podemos multiplicar por zero).
  • O objetivo é obter duas representações equivalentes da mesma condição: uma na forma de uma função cuja raiz corresponde às soluções ( f(x)=0) e outra na forma de ponto fixo ( f(x)=x), isto é, escrever x como uma função de x.

Passo 2

Construindo a forma f(x)=0. Primeiro passo natural: passar tudo para um lado da igualdade, subtraindo o segundo membro do primeiro:
\frac{x^{2}+1}{x+1}-\frac{e^{x}-1}{x}=0.
Isso já é uma forma f(x)=0 com f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+1}-\dfrac{e^{x}-1}{x}. Vou mostrar como simplificar essa expressão para uma única fração cujo numerador é uma função cuja raiz equivale à equação original (isto facilita análise e métodos numéricos).

Passo 3

Colocando sobre um denominador comum. O denominador comum é x(x+1) (lembrando que x\neq0 e x\neq-1). Multiplicando cada termo pelo denominador comum obtemos uma equivalência (válida para x\neq0,-1):
x\bigl(x^{2}+1\bigr)-(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr)=0.
Expliquei: multipliquei \dfrac{x^{2}+1}{x+1} por x (ficando x(x^{2}+1)/[x(x+1)]) e \dfrac{e^{x}-1}{x} por (x+1); ao subtrair e colocar sobre o denominador comum x(x+1) o numerador fica exatamente a expressão acima. Como o denominador x(x+1) não pode ser zero (pela equação original), podemos trabalhar com o numerador igual a zero. Portanto uma forma conveniente é definir
f(x)=x\bigl(x^{2}+1\bigr)-(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr).
A equação original é então equivalente (para x\neq0,-1) a
f(x)=0.
Opcionalmente podemos expandir f(x):
f(x)=x^{3}+x-(x+1)e^{x}+(x+1)=x^{3}+2x+1-(x+1)e^{x},
mas a forma factorizada x(x^{2}+1)-(x+1)(e^{x}-1) já é clara e útil.

Passo 4

Construindo a forma f(x)=x (forma de ponto fixo). Partimos da forma multiplicada que obtivemos no Passo 3:
x\bigl(x^{2}+1\bigr)=(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr).
Agora isolamos x de um lado para escrever x como função de x. Dividindo ambos os lados por x^{2}+1 (note que x^{2}+1>0 para todo x, logo essa divisão é sempre permitida) obtemos
x=\frac{(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr)}{x^{2}+1}.
Logo uma forma de ponto fixo é definir a função
f(x)=\frac{(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr)}{x^{2}+1},
de modo que a equação original é equivalente (para x\neq0,-1) a
x=f(x).
Observações sobre domínio: a expressão para f(x) acima está bem definida para todo x (pois x^{2}+1\neq0), mas a equivalência com a equação original exige que x\neq0 e x\neq-1 (esses valores anulam denominadores na equação inicial). Em outras palavras, soluções de x=f(x) que forem \neq0,-1 correspondem exatamente às soluções da equação dada.

Passo 5

Resumo didático rápido e dica para prova: para obter f(x)=0 geralmente subtraímos os dois lados e colocamos tudo sobre um denominador comum, trabalhando depois com o numerador (desde que se cuide das exclusões de domínio). Para obter f(x)=x (ponto fixo) isolamos x em uma das parcelas, dividindo por fatores que nunca sejam zero; há liberdade para escolher várias formas de f, mas a escolha feita aqui é direta e simples para tentativas de método iterativo.

Resposta

f(x)=0:\; f(x)=x\bigl(x^{2}+1\bigr)-(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr)
f(x)=x:\; f(x)=\dfrac{(x+1)\bigl(e^{x}-1\bigr)}{x^{2}+1}

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