Reescreva as equações nas formas
e
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a equação
nas formas
e
. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação original é
. - Devemos lembrar que as expressões têm denominadores, portanto
e são restrições de domínio que vêm da própria equação original (não podemos multiplicar por zero). - O objetivo é obter duas representações equivalentes da mesma condição: uma na forma de uma função cuja raiz corresponde às soluções (
) e outra na forma de ponto fixo ( ), isto é, escrever como uma função de .
Passo 2
Construindo a forma
. Primeiro passo natural: passar tudo para um lado da igualdade, subtraindo o segundo membro do primeiro:
Isso já é uma forma
com
. Vou mostrar como simplificar essa expressão para uma única fração cujo numerador é uma função cuja raiz equivale à equação original (isto facilita análise e métodos numéricos).
Passo 3
Colocando sobre um denominador comum. O denominador comum é
(lembrando que
e
). Multiplicando cada termo pelo denominador comum obtemos uma equivalência (válida para
):
Expliquei: multipliquei
por
(ficando
) e
por
; ao subtrair e colocar sobre o denominador comum
o numerador fica exatamente a expressão acima. Como o denominador
não pode ser zero (pela equação original), podemos trabalhar com o numerador igual a zero. Portanto uma forma conveniente é definir
A equação original é então equivalente (para
) a
Opcionalmente podemos expandir
:
mas a forma factorizada
já é clara e útil.
Passo 4
Construindo a forma
(forma de ponto fixo). Partimos da forma multiplicada que obtivemos no Passo 3:
Agora isolamos
de um lado para escrever
como função de
. Dividindo ambos os lados por
(note que
para todo
, logo essa divisão é sempre permitida) obtemos
Logo uma forma de ponto fixo é definir a função
de modo que a equação original é equivalente (para
) a
Observações sobre domínio: a expressão para
acima está bem definida para todo
(pois
), mas a equivalência com a equação original exige que
e
(esses valores anulam denominadores na equação inicial). Em outras palavras, soluções de
que forem
correspondem exatamente às soluções da equação dada.
Passo 5
Resumo didático rápido e dica para prova: para obter
geralmente subtraímos os dois lados e colocamos tudo sobre um denominador comum, trabalhando depois com o numerador (desde que se cuide das exclusões de domínio). Para obter
(ponto fixo) isolamos
em uma das parcelas, dividindo por fatores que nunca sejam zero; há liberdade para escolher várias formas de
, mas a escolha feita aqui é direta e simples para tentativas de método iterativo.