Reescreva as equações nas formas
e
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para reescrevê-la em duas formas: uma na forma
e outra na forma
.
Informações relevantes: a equação original é exatamente a igualdade acima; não há valores numéricos adicionais nem restrições explícitas sobre .
Informações relevantes: a equação original é exatamente a igualdade acima; não há valores numéricos adicionais nem restrições explícitas sobre
Passo 2
Vamos obter a forma
. A operação básica aqui é reunir todos os termos em um só lado da igualdade, para que do outro lado fique zero. Partimos de
Subtraindo
dos dois lados (ou, equivalentemente, somando
a ambos os lados) obtemos
Definimos então a função
por
Essa é a forma solicitada
: as soluções da equação original são exatamente as raízes de
.
Passo 3
Explico rápido a ideia usada: para passar para
sempre trazemos tudo para o mesmo lado da igualdade; isso transforma a busca de solução em problema de achar zeros de uma função. Essa técnica é útil, por exemplo, para aplicar métodos numéricos como Newton ou bisseção.
Passo 4
Agora vamos obter a forma
(forma de ponto fixo). Partimos da mesma equação original:
Queremos escrever
isolado em um dos lados: somando
aos dois lados fica
Agora isolamos
trocando os lados: subtraindo
de ambos os lados ou, mais diretamente, reorganizando a equação original para deixar
sozinho em um lado, obtemos
Definimos então a função
(agora como a função cujo ponto fixo procuramos) por
de modo que a equação original é equivalente à condição
.
Passo 5
Uma observação didática final: existem muitas formas de escrever a mesma equação na forma
(por exemplo isolando
de maneiras diferentes ou usando identidades trigonométricas como
). Cada reescrita leva a uma função
diferente e isso é importante se você for usar métodos iterativos — a convergência depende de qual
você escolher. Aqui usei a reescrita direta mais simples, que é suficiente para responder ao pedido.