Reescreva as seguintes equações como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^3 ordem:
integral y^(4)+cos (x) y^prime prime prime+e^-x y^prime prime-(x^2+1) y^prime+xy=2 x sen(xy) y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=2, y^prime prime prime(0)=3

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente transforme essa EDO de 4ª ordem
y^(4)+cos(x),y^(3)+e^-x,y''-(x^2+1),y'+x,y=2xsin(xy)
com condições iniciais
y(0)=0,;y'(0)=1,;y''(0)=2,;y^(3)(0)=3
num sistema de equações diferenciais de primeira ordem.
O conteúdo é “reduzir ordem” de EDOs, e pra isso precisamos definir variáveis auxiliares para cada derivada até a terceira.

Passo 2

Definimos as variáveis novas:
y1=y, y2=y', y3=y'', y4=y^(3)
Assim, as derivadas dos yi vão gerar equações de 1ª ordem.

Passo 3

Como cada yi é a derivada da anterior, temos:
y1' = y2, y2' = y3, y3' = y4
Falta só achar y4'=y^(4). Da EDO original isola-se y^(4):
y^(4)=2xsin(xy)-cos(x),y^(3)-e^-x,y''+(x^2+1),y'-x,y
Trocando em termos de yi, vira
y4' = 2xsinl(xy1r);-;cos(x),y4;-;e^-x,y3;+;(x^2+1),y2;-;x,y1

Passo 4

Agora só acrescentar as condições iniciais nas novas variáveis:
y1(0)=0,;y2(0)=1,;y3(0)=2,;y4(0)=3

Resposta

O sistema de 1ª ordem equivalente é
y1' = y2, y2' = y3, y3' = y4, y4' = 2xsin(xy1)-cos(x),y4 - e^-x,y3 + (x^2+1),y2 - x,y1,
com
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