Resolver usando o método de Gauss.
\left[\begin{array}{rl} x+2 y+3 z+5 w & =11 \\\\ 2 x+3 y+5 z+7 w & =20 \\\\ 3 x+2 y+5 z+7 w & =21 \\\\ 5 x+3 y+2 z+w & =32 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver pelo método de Gauss o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z + 5w = 11,\\\\ 2x + 3y + 5z + 7w = 20,\\\\ 3x + 2y + 5z + 7w = 21,\\\\ 5x + 3y + 2z + w = 32. \end{cases}
Usaremos eliminação de variáveis para triangularizar a matriz aumentada e, em seguida, substituição regressiva para achar x,y,z,w.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\\\ 2 & 3 & 5 & 7 & 20\\\\ 3 & 2 & 5 & 7 & 21\\\\ 5 & 3 & 2 & 1 & 32 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o primeiro pivô (primeira linha, primeira coluna) e eliminamos x das linhas 2, 3 e 4: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1, R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1.
Obtemos
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\\\ 0 & -1 & -1 & -3 & -2\\\\ 0 & -4 & -4 & -8 & -12\\\\ 0 & -7 & -13 & -24 & -23 \end{array}\right].

Passo 4

Agora o pivô é o coeficiente -1 em posição (2,2). Eliminamos y das linhas 3 e 4: R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2, R_4 \leftarrow R_4 - 7R_2.
Isso gera
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\\\ 0 & -1 & -1 & -3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -4\\\\ 0 & 0 & -6 & -3 & -9 \end{array}\right].

Passo 5

Perceba que a linha 3 tem zero na coluna 3, mas a linha 4 tem -6. Fazemos R_3 \leftrightarrow R_4
para trazer um pivô não nulo, e em seguida não há mais z a eliminar na última linha. O sistema triangular superior fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\\\ 0 & -1 & -1 & -3 & -2\\\\ 0 & 0 & -6 & -3 & -9\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -4 \end{array}\right].

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva:
Da 4ª equação 4w = -4 segue
w = -1.
Da 3ª -6z -3w = -9 temos
-6z +3 = -9\implies z = 2.
Da 2ª -y - z -3w = -2 obtemos
-y -2 +3 = -2\implies y = 3.
Por fim, da 1ª x +2y +3z +5w = 11 segue
x +6 +6 -5 = 11\implies x = 4.

Resposta

(x,y,z,w) = (4,\,3,\,2,\,-1)

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