4- Repita os problemas 1 a 3 mas para o seguinte problema de valor inicial no intervalo de \mathrm{x}=0 a 1 :
\frac{d y}{d x}=(1+2 x) \sqrt{x} \quad y(0)=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Enunciado (peguei estes dados diretamente do problema): a equação diferencial e a condição inicial são
\frac{dy}{dx}=(1+2x)\sqrt{x},\qquad y(0)=1,
no intervalo \mathrm{x}=0 a 1.
  • O que é pedido (interpretação direta do enunciado): encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para x\in[0,1].

Passo 2

Identificar o tipo de equação e o método mais direto para resolver.
  • Observação: o lado direito (1+2x)\sqrt{x} depende só de x, não depende de y. Sempre que uma equação tem a forma
\frac{dy}{dx}=g(x),
podemos integrar em relação a x para obter
y(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é constante. Essa é a técnica mais simples: reduzir a ODE a uma primitiva de g(x).
  • Aula rápida sobre isso (por que funciona): \dfrac{dy}{dx}=g(x) significa que a derivada de y é conhecida como função de x. A operação inversa da derivada é a integral; portanto, integrar ambos os lados em x y(x)=\int g(x)\,dx+C. É uma aplicação direta da definição de primitiva/antiderivada.

Passo 3

Preparar a integral que precisamos calcular.
  • Aqui temos g(x)=(1+2x)\sqrt{x}. Primeiro escrevo \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Multiplicando:
(1+2x)\sqrt{x}=x^{1/2}+2x\cdot x^{1/2}=x^{1/2}+2x^{3/2}.
  • Assim a primitiva que precisamos é
\int (x^{1/2}+2x^{3/2})\,dx.

Passo 4

Calcular a primitiva termo a termo usando a regra da potência.
  • Regra da potência para integrais (aula curta): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui aplicamos com n=\tfrac{1}{2} e n=\tfrac{3}{2}.
  • Primeiro termo:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
  • Segundo termo:
\int 2x^{3/2}\,dx=2\cdot\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}=2\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2}=2\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}=\frac{4}{5}x^{5/2}.
  • Somando as primitivas:
\int (x^{1/2}+2x^{3/2})\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/2}+C.

Passo 5

Impor a condição inicial para determinar a constante C.
  • A solução geral é
y(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/2}+C.
  • Aplicando y(0)=1:
1=y(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}+\frac{4}{5}\cdot 0^{5/2}+C=0+0+C,
logo C=1.
  • Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=1+\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/2}.

Passo 6

Verificar rapidamente que a solução encontrada realmente satisfaz a ODE (checagem útil na prova).
  • Derivo y(x) usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}\!\left(1+\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/2}\right) =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}+\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}.
  • Simplificando os coeficientes:
\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1,\qquad \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{2}=2,
portanto
\frac{dy}{dx}=x^{1/2}+2x^{3/2}=(1+2x)\sqrt{x},
que é exatamente o lado direito da ODE. A condição inicial também é satisfeita (já imposta), então a solução está correta.

Passo 7

Comentário prático sobre existência/unicidade e uma forma alternativa de resolver (dica de prova/exame).
  • Existência e unicidade (luz rápida): a função f(x)=(1+2x)\sqrt{x} é contínua em [0,1] (a raiz é contínua e os polinômios também), então existe uma primitiva e a solução do IVP existe e é única (para equações da forma y'=f(x) a dependência em y é inexistente, o que garante unicidade trivialmente).
  • Método alternativo (muito prático em prova): em vez de achar a primitiva indefinida e depois ajustar C, pode-se usar a forma com integral definida que já incorpora a condição inicial:
y(x)=y(0)+\int_{0}^{x}(1+2t)\sqrt{t}\,dt.
Calcular essa integral definida dá exatamente os termos \tfrac{2}{3}x^{3/2}+\tfrac{4}{5}x^{5/2}, e acrescentar y(0)=1 fornece a mesma resposta. Essa abordagem evita manipular C e é especialmente direta quando a condição inicial é em x=0.
  • Exemplo rápido para fixar a ideia: se fosse \dfrac{dy}{dx}=3x^2,\\ y(0)=2, então y(x)=2+\int_0^x 3t^2dt=2+x^3.

Resposta

y(x)=1+\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/2}

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