4- Repita os problemas 1 a 3 mas para o seguinte problema de valor inicial no intervalo de
a 1 :
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Enunciado (peguei estes dados diretamente do problema): a equação diferencial e a condição inicial são
no intervalo
a
.
- O que é pedido (interpretação direta do enunciado): encontrar a solução explícita
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para .
Passo 2
Identificar o tipo de equação e o método mais direto para resolver.
- Observação: o lado direito
depende só de , não depende de . Sempre que uma equação tem a forma
podemos integrar em relação a
para obter
onde
é constante. Essa é a técnica mais simples: reduzir a ODE a uma primitiva de
.
- Aula rápida sobre isso (por que funciona):
significa que a derivada de é conhecida como função de . A operação inversa da derivada é a integral; portanto, integrar ambos os lados em dá . É uma aplicação direta da definição de primitiva/antiderivada.
Passo 3
Preparar a integral que precisamos calcular.
- Aqui temos
. Primeiro escrevo como potência:
- Multiplicando:
- Assim a primitiva que precisamos é
Passo 4
Calcular a primitiva termo a termo usando a regra da potência.
- Regra da potência para integrais (aula curta): para
,
Aqui aplicamos com
e
.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Somando as primitivas:
Passo 5
Impor a condição inicial para determinar a constante
.
- A solução geral é
- Aplicando
:
logo
.
- Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificar rapidamente que a solução encontrada realmente satisfaz a ODE (checagem útil na prova).
- Derivo
usando a regra da potência:
- Simplificando os coeficientes:
portanto
que é exatamente o lado direito da ODE. A condição inicial também é satisfeita (já imposta), então a solução está correta.
Passo 7
Comentário prático sobre existência/unicidade e uma forma alternativa de resolver (dica de prova/exame).
-
Existência e unicidade (luz rápida): a função
é contínua em (a raiz é contínua e os polinômios também), então existe uma primitiva e a solução do IVP existe e é única (para equações da forma a dependência em é inexistente, o que garante unicidade trivialmente). -
Método alternativo (muito prático em prova): em vez de achar a primitiva indefinida e depois ajustar
, pode-se usar a forma com integral definida que já incorpora a condição inicial:
Calcular essa integral definida dá exatamente os termos
, e acrescentar
fornece a mesma resposta. Essa abordagem evita manipular
e é especialmente direta quando a condição inicial é em
.
- Exemplo rápido para fixar a ideia: se fosse
, então .