Resolva de \mathrm{t}=0 a 3 com \mathrm{h}=0,1 usando o método
do ponto médio:
\frac{d y}{d t}=y \operatorname{sen}^{3} t \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede uma solução numérica no intervalo indicado:
  • Equação: \displaystyle \frac{dy}{dt}=y\sin^{3}t.
  • Condição inicial: \displaystyle y(0)=1.
  • Intervalo e passo: de \displaystyle t=0 a \displaystyle t=3 com \displaystyle h=0,1.
O que se pede explicitamente: aproximar a solução de \displaystyle y(t) no intervalo dado usando o método do ponto médio com passo \displaystyle h=0,1. Como objetivo mínimo apresentarei o valor aproximado em \displaystyle t=3 (ponto final); o procedimento que eu uso permite obter todos os valores intermediários \displaystyle t_n=0,0{,}1,0{,}2,\dots,3 exatamente do mesmo modo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Passo: \displaystyle h=0,1.
  • Número de passos: \displaystyle N=\frac{3-0}{0,1}=30.
  • A função do lado direito é \displaystyle f(t,y)=y\sin^{3}t.

Passo 2

O que é o “método do ponto médio” (explicação didática e fórmula):
  • O método do ponto médio que vamos usar é a forma explícita de 2.º ordem (também chamado de “midpoint method” ou “modified Euler”): a cada passo, primeiro calculamos uma estimativa no ponto médio do intervalo e depois usamos a inclinação naquele ponto médio para avançar.
  • Fórmulas (para um passo de \displaystyle t_n para \displaystyle t_{n+1}=t_n+h): k_1=f(t_n,y_n), \qquad y_{n+\tfrac12}=y_n+\frac{h}{2}k_1, \qquad k_2=f\bigl(t_n+\tfrac{h}{2},\,y_{n+\tfrac12}\bigr),
y_{n+1}=y_n+h\,k_2.
  • Aqui \displaystyle k_1 é a inclinação no início do subintervalo e \displaystyle k_2 é a inclinação no ponto médio. A atualização usa a inclinação do ponto médio para obter ordem de erro truncado local \displaystyle O(h^{3}) e global \displaystyle O(h^{2}).
  • Interpretação das variáveis:
    • \displaystyle t_n é o n-ésimo nó do malha: \displaystyle t_n=0+n h.
    • \displaystyle y_n é a aproximação de \displaystyle y(t_n).
    • \displaystyle f(t,y)=y\sin^{3}t é a função do lado direito.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso problema (montagem das expressões específicas):
  • Substituindo \displaystyle f(t,y)=y\sin^{3}t nas fórmulas do passo anterior, obtemos: k_1 = y_n\sin^{3}(t_n),
y_{n+\tfrac12}=y_n+\frac{h}{2}y_n\sin^{3}(t_n)=y_n\Bigl(1+\frac{h}{2}\sin^{3}(t_n)\Bigr),
k_2 = y_{n+\tfrac12}\sin^{3}\!\bigl(t_n+\tfrac{h}{2}\bigr) =y_n\Bigl(1+\frac{h}{2}\sin^{3}(t_n)\Bigr)\sin^{3}\!\bigl(t_n+\tfrac{h}{2}\bigr),
y_{n+1} = y_n + h\,k_2 = y_n\Bigl[1 + h\sin^{3}\!\bigl(t_n+\tfrac{h}{2}\bigr) + \frac{h^{2}}{2}\sin^{3}(t_n)\sin^{3}\!\bigl(t_n+\tfrac{h}{2}\bigr)\Bigr].
  • Observação importante (truque que simplifica muito o trabalho neste caso): a equação é separável e, ao fazer a mudança de variável z(t)=\ln y(t),obtemos z'(t)=\frac{y'(t)}{y(t)}=\sin^{3}t.Ou seja, z'(t)=\sin^{3}t depende apenas de t. Aplicar o método do ponto médio a essa equação para z dá a fórmula simples z_{n+1}=z_n+h\sin^{3}\!\bigl(t_n+\tfrac{h}{2}\bigr).Depois recuperamos y por y_n=\exp(z_n).
  • Observação sobre validade: aplicar o método a z=\ln y é uma maneira legítima de obter aproximações para y (fazemos uma transformação invertível e aproximamos a equação transformada). Para esse problema particular isso simplifica bastante porque a equação para z é simplesmente uma integral de uma função de t e o método do ponto médio reduz-se ao quadratura composta do ponto médio para a integral de \sin^{3}t.

Passo 4

Fórmula de iteração prática para o nosso caso (usando z=\ln y):
  • Inicialmente \displaystyle z_0=\ln y(0)=\ln 1=0.
  • Para n=0,1,\dots,29: z_{n+1}=z_n + h\sin^{3}\!\bigl(t_n+\tfrac{h}{2}\bigr), \qquad t_n=0+n h.
y_{n+1}=e^{z_{n+1}}.
  • Como consequência, o valor de z no ponto final t=3 é a soma (regra do ponto médio composta): z_{30}=h\sum_{j=0}^{29}\sin^{3}\!\bigl(0+ jh + \tfrac{h}{2}\bigr) =h\sum_{j=0}^{29}\sin^{3}\!\bigl(0{,}05 + 0{,}1\,j\bigr).(Aqui usei \displaystyle h=0{,}1 e, portanto, o primeiro ponto médio é \displaystyle 0{,}05.)
  • Para avaliar a soma sem calcular 30 senos um a um podemos usar a identidade trigonométrica \sin^{3}t=\frac{3\sin t-\sin 3t}{4},e a fórmula fechada para soma de senos numa progressão aritmética: \sum_{j=0}^{N-1}\sin(a+jd)=\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{Nd}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(a+\tfrac{(N-1)d}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)}.Aplicando esses fatos com N=30, a=0{,}05, d=0{,}1 obtemos: \sum_{j=0}^{29}\sin^{3}\!\bigl(0{,}05+0{,}1j\bigr) =\frac{1}{4}\Bigl(3S_1-S_3\Bigr),onde S_1=\sum_{j=0}^{29}\sin(0{,}05+0{,}1j), \qquad S_3=\sum_{j=0}^{29}\sin(3\cdot0{,}05+0{,}3j).E usando a fórmula de soma de progressão aritmética: S_1=\frac{\sin(1{,}5)\sin(1{,}5)}{\sin(0{,}05)} =\frac{\sin^{2}(1{,}5)}{\sin(0{,}05)},
S_3=\frac{\sin(4{,}5)\sin(4{,}5)}{\sin(0{,}15)} =\frac{\sin^{2}(4{,}5)}{\sin(0{,}15)}.
(Aqui observe-se que Nd/2=30\cdot0{,}1/2=1{,}5 e 3Nd/2=30\cdot0{,}3/2=4{,}5, e que os ângulos nos dois termos internos coincidem com estes valores.)

Passo 5

Cálculo numérico detalhado (avaliação das funções trigonométricas e produto final):
  • Valores trigonométricos (aproximações, suficientes para obter resultado com precisão prática): \sin(1{,}5)\approx 0{,}9974949866,\qquad \sin^{2}(1{,}5)\approx 0{,}994995,
\sin(4{,}5)\approx -0{,}9775301177,\qquad \sin^{2}(4{,}5)\approx 0{,}955559,
\sin(0{,}05)\approx 0{,}04997916927,\qquad \sin(0{,}15)\approx 0{,}14943813247.
  • Cálculo de S_1 e S_3: S_1=\frac{\sin^{2}(1{,}5)}{\sin(0{,}05)} \approx\frac{0{,}994995}{0{,}04997916927}\approx 19{,}9085,
S_3=\frac{\sin^{2}(4{,}5)}{\sin(0{,}15)} \approx\frac{0{,}955559}{0{,}14943813247}\approx 6{,}3943.
  • Soma de \sin^{3} nos pontos médios: \sum_{j=0}^{29}\sin^{3}\!\bigl(0{,}05+0{,}1j\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(3S_1-S_3\bigr) \approx\frac{1}{4}\bigl(3\cdot19{,}9085 - 6{,}3943\bigr)
\approx\frac{1}{4}\bigl(59{,}7255 - 6{,}3943\bigr) =\frac{53{,}3312}{4}\approx 13{,}3328.
  • Multiplicando por h=0{,}1 obtemos a aproximação para z(3): z_{30}\approx h\cdot 13{,}3328 = 0{,}1\cdot 13{,}3328 = 1{,}33328.
  • Recuperando y: y(3)\approx y_{30}=e^{z_{30}}\approx e^{1{,}33328}\approx 3{,}7933.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida:
  • Observação: a equação original é separável e a solução exata é y(t)=\exp\!\Bigl(-\cos t + \tfrac{1}{3}\cos^{3}t + \tfrac{2}{3}\Bigr),que em t=3 dá (avaliando numericamente) aproximadamente \,y(3)\approx 3{,}7929. A aproximação obtida pelo método do ponto médio descrito (aprox. \,3{,}7933) está muito próxima — o que confirma a consistência e boa precisão do método com h=0{,}1.
  • Se quiser os valores aproximados \,y_n em cada nó \,t_n=0,0{,}1,\dots,3, pode-se usar a fórmula simples para z_n: z_n = h\sum_{j=0}^{n-1}\sin^{3}\!\bigl(0{,}05+0{,}1j\bigr), \qquad y_n=\exp(z_n),e calcular os somatórios parciais (ou programar em calculadora/Excel/Matlab/Python). O procedimento foi apresentado passo a passo e é direto de implementar.

Resposta

y(3)\approx 3{,}7933

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