Resolva de
a 3 com
usando o método
do ponto médio:
do ponto médio:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede uma solução numérica no intervalo indicado:
- Equação:
. - Condição inicial:
. - Intervalo e passo: de
a com .
O que se pede explicitamente: aproximar a solução de
no intervalo dado usando o método do ponto médio com passo
. Como objetivo mínimo apresentarei o valor aproximado em
(ponto final); o procedimento que eu uso permite obter todos os valores intermediários
exatamente do mesmo modo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Passo:
. - Número de passos:
. - A função do lado direito é
.
Passo 2
O que é o “método do ponto médio” (explicação didática e fórmula):
- O método do ponto médio que vamos usar é a forma explícita de 2.º ordem (também chamado de “midpoint method” ou “modified Euler”): a cada passo, primeiro calculamos uma estimativa no ponto médio do intervalo e depois usamos a inclinação naquele ponto médio para avançar.
- Fórmulas (para um passo de
para ):
- Aqui
é a inclinação no início do subintervalo e é a inclinação no ponto médio. A atualização usa a inclinação do ponto médio para obter ordem de erro truncado local e global . - Interpretação das variáveis:
-
é o n-ésimo nó do malha: . -
é a aproximação de . -
é a função do lado direito.
-
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso problema (montagem das expressões específicas):
- Substituindo
nas fórmulas do passo anterior, obtemos:
- Observação importante (truque que simplifica muito o trabalho neste caso): a equação é separável e, ao fazer a mudança de variável
obtemos Ou seja, depende apenas de . Aplicar o método do ponto médio a essa equação para dá a fórmula simples Depois recuperamos por . - Observação sobre validade: aplicar o método a
é uma maneira legítima de obter aproximações para (fazemos uma transformação invertível e aproximamos a equação transformada). Para esse problema particular isso simplifica bastante porque a equação para é simplesmente uma integral de uma função de e o método do ponto médio reduz-se ao quadratura composta do ponto médio para a integral de .
Passo 4
Fórmula de iteração prática para o nosso caso (usando
):
- Inicialmente
. - Para
:
- Como consequência, o valor de
no ponto final é a soma (regra do ponto médio composta): (Aqui usei e, portanto, o primeiro ponto médio é .) - Para avaliar a soma sem calcular 30 senos um a um podemos usar a identidade trigonométrica
e a fórmula fechada para soma de senos numa progressão aritmética: Aplicando esses fatos com , , obtemos: onde E usando a fórmula de soma de progressão aritmética:
(Aqui observe-se que
e
, e que os ângulos nos dois termos internos coincidem com estes valores.)
Passo 5
Cálculo numérico detalhado (avaliação das funções trigonométricas e produto final):
- Valores trigonométricos (aproximações, suficientes para obter resultado com precisão prática):
- Cálculo de
e :
- Soma de
nos pontos médios:
- Multiplicando por
obtemos a aproximação para : - Recuperando
:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida:
- Observação: a equação original é separável e a solução exata é
que em dá (avaliando numericamente) aproximadamente . A aproximação obtida pelo método do ponto médio descrito (aprox. ) está muito próxima — o que confirma a consistência e boa precisão do método com . - Se quiser os valores aproximados
em cada nó , pode-se usar a fórmula simples para : e calcular os somatórios parciais (ou programar em calculadora/Excel/Matlab/Python). O procedimento foi apresentado passo a passo e é direto de implementar.