Representar na forma trigonométrica:
\cos \theta-i \sin \theta;

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo \cos\theta - i\sin\theta e pede que o representemos na forma trigonométrica. Informações dadas:
  • Parte real: \operatorname{Re}= \cos\theta.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}= -\sin\theta.
  • Queremos escrever o número na forma trigonométrica geral \;r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr)\;, onde r é o módulo e \varphi é o argumento.

Passo 2

O que é a forma trigonométrica de um número complexo?
Definição e fórmulas que vamos usar:
  • Um complexo z=x+iy pode ser escrito como
z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr),
onde
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
é o módulo e \varphi é um ângulo tal que
\cos\varphi=\frac{x}{r},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{r}.
Observação: o argumento \varphi é determinado módulo 2\pi (ou seja, \varphi e \varphi+2k\pi representam o mesmo argumento).

Passo 3

Identificar x e y no nosso caso:
Para \cos\theta - i\sin\theta temos
x=\cos\theta,\qquad y=-\sin\theta.

Passo 4

Calcular o módulo r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\cos^{2}\theta+(-\sin\theta)^{2}}=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
r=1.
Interpretação: o número está na circunferência unitária (módulo 1).

Passo 5

Determinar o argumento \varphi. Podemos usar as igualdades
\cos\varphi=\frac{x}{r}=\cos\theta,\qquad \sin\varphi=\frac{y}{r}=-\sin\theta.
Repare na identidade trigonométrica
\cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \sin(-\theta)=-\sin\theta.
Portanto escolher \varphi=-\theta satisfaz exatamente \cos\varphi=\cos\theta e \sin\varphi=-\sin\theta. Assim o argumento é
\varphi=-\theta + 2k\pi\quad (k\in\mathbb{Z}),
e, comumente, tomamos o representante principal \varphi=-\theta.

Passo 6

Escrever a forma trigonométrica final usando r=1 e \varphi=-\theta:
\cos\theta - i\sin\theta = 1\bigl(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr).
Como alternativa equivalente (fórmula de Euler), também se pode escrever
\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}.

Resposta

\cos\theta - i\sin\theta = 1\bigl(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr) = e^{-i\theta}

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