Representar num mesmo sistema de coordenadas as retas:
\left\{\begin{array}{l}y=5, x \geq 0 \\\ y=4 x, x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para representar, no mesmo sistema de coordenadas, as duas retas com restrição em x\): \[\begin{cases} y=5, & x\ge 0,\\[4pt] y=4x, & x\ge 0. \end{cases}
Informações dadas e o que é pedido:
  • A primeira equação é a reta horizontal cuja ordenada é sempre 5\], mas apenas para \(x\ge 0.
  • A segunda equação é uma reta que passa pela origem com coeficiente angular 4, também apenas para x\ge 0.
  • O objetivo é desenhar ambas no mesmo plano cartesiano, respeitando as restrições x\ge 0.]

Passo 2

Entender e preparar a reta y=5 com x\ge 0.
  • A equação y=5 significa que a coordenada y é sempre 5 para qualquer x.
  • O ponto onde ela cruza o eixo y é (0,5).
  • Como há a restrição x\ge 0, só vamos desenhar a parte dessa reta para a direita do eixo y (incluindo o ponto (0,5)).
  • Representação paramétrica (útil para desenhar): \{(x,5)\mid x\ge 0\}.
Exemplos de pontos que pertencem a essa parte da reta (úteis para marcar no gráfico):
(0,5),\quad (1,5),\quad (2,5).
Marque esses pontos e una-os por uma linha reta que se estende para a direita; como x vai até +\infty, desenhar como uma semi‑reta horizontal com ponto cheio em (0,5).

Passo 3

Entender e preparar a reta y=4x com x\ge 0.
  • A equação y=4x tem coeficiente angular 4 (ou seja, sobe 4 unidades em y para cada 1 unidade em x).
  • Ela passa pela origem (0,0).
  • Com x\ge 0, desenhamos apenas o ramo desta reta para a direita do eixo y, incluindo (0,0).
  • Representação paramétrica: \{(x,4x)\mid x\ge 0\}.
Exemplos de pontos para marcar:
(0,0),\quad (1,4),\quad (2,8).
Una esses pontos por uma linha reta que parte da origem e sobe inclinada para a direita; como x cresce sem limite, é uma semi‑reta.

Passo 4

Encontrar o ponto de interseção entre as duas semi‑retas (se existir) — isso ajuda a desenhar corretamente.
  • Para interseção, igualar y das duas equações:
4x = 5.
  • Resolver:
x = \frac{5}{4}.
  • Substituindo em y=5 (ou y=4x) obtemos:
y=5.
  • Logo o ponto de interseção é \left(\tfrac{5}{4},\,5\right).
  • Verificar a restrição: \tfrac{5}{4}\ge 0, portanto esse ponto realmente pertence a ambas as semi‑retas.

Passo 5

Instruções práticas para desenhar no papel (passo a passo, como fazer na prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque uma escala igual nos eixos x e y (por exemplo, 1 unidade por divisão).
  2. Marque e rotule os pontos necessários:
    • Para a semi‑reta horizontal: marque (0,5), (1,5), (2,5).
    • Para a semi‑reta inclinada: marque (0,0), (1,4), (2,8).
    • Marque também o ponto de interseção \left(\tfrac{5}{4},5\right); \tfrac{5}{4}=1,25 na escala do eixo x.
  3. Trace uma linha reta horizontal passando por esses pontos, mas apenas para x\ge 0: isso é a semi‑reta \{(x,5)\mid x\ge 0\}. Coloque um ponto cheio em (0,5).
  4. Trace a outra linha reta passando por (0,0),(1,4),(2,8), mas apenas para x\ge 0: isso é a semi‑reta \{(x,4x)\mid x\ge 0\}. Coloque um ponto cheio em (0,0).
  5. Destaque o ponto de interseção \left(\tfrac{5}{4},5\right) com um ponto preenchido e, se quiser, escreva a coordenada ao lado.
  6. Não desenhe setas para essas semi‑retas apontando para x<0, porque a condição é x\ge 0; as semi‑retas continuam apenas para a direita.

Passo 6

Resumo visual a fixar (o que o gráfico mostra, em linguagem curta):
  • A primeira é uma semi‑reta horizontal: \{(x,5)\mid x\ge 0\}.
  • A segunda é uma semi‑reta que parte da origem com inclinação 4: \{(x,4x)\mid x\ge 0\}.
  • Elas se cruzam em \left(\tfrac{5}{4},5\right).

Resposta

\{(x,5)\mid x\ge 0\} e \{(x,4x)\mid x\ge 0\}.
Interseção: \left(\tfrac{5}{4},5\right).

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