Representar num mesmo sistema de coordenadas as retas:
Passo 1
O enunciado pede para representar, no mesmo sistema de coordenadas, as duas retas com restrição em
Informações dadas e o que é pedido:
- A primeira equação é a reta horizontal cuja ordenada é sempre .
- A segunda equação é uma reta que passa pela origem com coeficiente angular
, também apenas para . - O objetivo é desenhar ambas no mesmo plano cartesiano, respeitando as restrições
.]
Passo 2
Entender e preparar a reta
com
.
- A equação
significa que a coordenada é sempre para qualquer . - O ponto onde ela cruza o eixo
é . - Como há a restrição
, só vamos desenhar a parte dessa reta para a direita do eixo (incluindo o ponto ). - Representação paramétrica (útil para desenhar):
.
Exemplos de pontos que pertencem a essa parte da reta (úteis para marcar no gráfico):
Marque esses pontos e una-os por uma linha reta que se estende para a direita; como
vai até
, desenhar como uma semi‑reta horizontal com ponto cheio em
.
Passo 3
Entender e preparar a reta
com
.
- A equação
tem coeficiente angular (ou seja, sobe 4 unidades em para cada 1 unidade em ). - Ela passa pela origem
. - Com
, desenhamos apenas o ramo desta reta para a direita do eixo , incluindo . - Representação paramétrica:
.
Exemplos de pontos para marcar:
Una esses pontos por uma linha reta que parte da origem e sobe inclinada para a direita; como
cresce sem limite, é uma semi‑reta.
Passo 4
Encontrar o ponto de interseção entre as duas semi‑retas (se existir) — isso ajuda a desenhar corretamente.
- Para interseção, igualar
das duas equações:
- Resolver:
- Substituindo em
(ou ) obtemos:
- Logo o ponto de interseção é
. - Verificar a restrição:
, portanto esse ponto realmente pertence a ambas as semi‑retas.
Passo 5
Instruções práticas para desenhar no papel (passo a passo, como fazer na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque uma escala igual nos eixos
e (por exemplo, 1 unidade por divisão). - Marque e rotule os pontos necessários:
- Para a semi‑reta horizontal: marque
. - Para a semi‑reta inclinada: marque
. - Marque também o ponto de interseção
; na escala do eixo .
- Para a semi‑reta horizontal: marque
- Trace uma linha reta horizontal passando por esses pontos, mas apenas para
: isso é a semi‑reta . Coloque um ponto cheio em . - Trace a outra linha reta passando por
, mas apenas para : isso é a semi‑reta . Coloque um ponto cheio em . - Destaque o ponto de interseção
com um ponto preenchido e, se quiser, escreva a coordenada ao lado. - Não desenhe setas para essas semi‑retas apontando para
, porque a condição é ; as semi‑retas continuam apenas para a direita.
Passo 6
Resumo visual a fixar (o que o gráfico mostra, em linguagem curta):
- A primeira é uma semi‑reta horizontal:
. - A segunda é uma semi‑reta que parte da origem com inclinação
: . - Elas se cruzam em
.
Resposta
Interseção: